Forum de mathématiques - Bibm@th.net

brbrbrbr

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prix unitaire

Bonjour chers matheux !
Alors j'aurai besoin de votre aide sur un exercice d'un sujet type bac ...

C'est la partie B de mon exercice qui me pose problème, alors je ne vais écrire que celle la mais je vais faire en sorte de donner les informations nécessaires !

f(x)=(x²)/3 +1 et g(x)=(x^3)/27-(4x²)/9-x+18

Les fonctions f et g modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit:
-f(x) est la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire de x centaines d'euros.
-g(x) la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire de x centaines d'euros.
On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de x pour laquelle l'offre est égale à la demande.
1. Quel est, exprimé à l'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché?
2. Quel nombre d'articles, (arrondis à la centaine d'articles près), correspond à ce prix unitaire d'équilibre?

Ou j'en suis?

1. Pour cette question j'ai essayé de résoudre l'équation f(x)=g(x):
(x²)/3 +1=(x^3)/27-(4x²)/9-x+18
x=(x^3)/27-(4x²)/9+18-1-(x²)/3
x=(x^3)/27+17-(4x²)/9-(3x²)/9
x=(x^3)/27+17-(7x²)/9
Après je ne sais plus comment réduire .. de plus, dans la question, c'est un prix qui est demandé .. et je ne sais pas comment obtenir un prix avec ce que j'ai fais!

2. Pour celle ci je n'ai encore rien fais, car il me semble que je devrais faire une déduction à partir de la réponse de la question 1 que je n'ai pas...

Voila .. merci d'avance!!

ymagnyma

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Re : prix unitaire

Bonjour, ton intension est bonne, et en relisant l'énoncé, tu auras la réponse à ta question "comment obtenir un prix".
Tu cherches en effet à résoudre [tex]f(x) = g(x)[/tex]. C'est-à-dire à trouver les valeurs de [tex]x[/tex] pour lesquelles [tex]f(x)=g(x)[/tex].

Tu obtiendras donc, si tout va bien, des valeurs de [tex]x[/tex] ...

maintenant, pour la technique, va falloir reprendre à partir de la ligne un.
Quand on cherche à isoler x, c'est qu'on ne veut des x que dans un seul des deux membres de l'égalité, soit à gauche, soit à droite.
(des [tex]x^2[/tex], des [tex]x^3[/tex], c'est des quantités en [tex]x[/tex]).

Je passe les détails, montre moi que tu les retrouves, mais tu va tomber sur l'équation suivante :
[tex]x^3-21x^2-27x+459=0[/tex].
(remarque, peut-être que dans la partie A cette équation intervient ?)
Parce que là, je coince aussi dans sa résolution et même Xcas "refuse" de factoriser l'expression [tex]x^3-21x^2-27x+459[/tex].

Du coup, je me suis rabattu sur une méthode graphique, en traçant les représentations graphiques de [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] et en lisant, avec une bonne précision permise par un logiciel type GeoGebra, les coordonnées des points d'intersection.

Remarque, ta calculatrice fera aussi bien, et te fourni les réponses, (quel modèle as-tu ?)

Cette méthode te permet d'un coup d'un seul de répondre aux deux questions. Mais bon, c'est grosso modo de la lecture graphique et de la manipulation de logiciel ou de calculatrice, ce que tu as à savoir faire.

Bon courage, donne moi tes réponses.

yoshi

Modo Ferox

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Re : prix unitaire

Bonjour,

Bienvenue à bord...
glaglagla !
Si j'en crois ton énoncé :
* x est un  prix unitaire en centaines d'euros...
* f(x) est la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les producteurs sont prêts à vendre à ce prix unitaire.
* g(x) est la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les consommateurs sont prêts à à acheter à ce prix unitaire.
Avertissement
Ici, le spécialiste de l'éco, c'est freddy, absent jusqu'à ce soir...
Moi, je fais des Maths pures et dures.

Pour te permettre de patienter en attendant Godot (oups, réminiscence littéraire ^_^), freddy, je vais regarder les choses par le petit bout bout de ma lorgnette...
Si j'en crois la question, il faut trouver, à l'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ?
Ton équation du 3e degré est juste...
J'ai eu la sensation, en accord avec cette précision : à l'euro près, que les solutions exactes ne seraient pas facile à trouver, ce qui a été confirmé par ma calculatrice logicielle WxMaxima qui fait du calcul formel (ces solutions m'arrachent les yeux !)...
Avec mon logiciel grapheur, j'ai vu qu'il y avait 3 solutions dont une négative (équation à taper [tex] y=x^3-21x^2-27x+459[/tex] et voir les intersections avec l'axe des x)
Les 2 positives sont...

Ce qui m'inquiète un peu à cause de la question "quel est le prix unitaire (...)", ce qui sous-entendrait qu'il n'y en a qu'un seul...
Ma foi, à toi de voir...

@+

[EDIT]@
Pas vu ymagnyma...
Salut jeune-homme !
Bon, pour ne pas déflorer le sujet, j'ai donc supprimer le fruit de mes recherches dichotomiques en Python...

Dernière modification par yoshi (02-11-2013 15:33:07)

brbrbrbr

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Re : prix unitaire

J'ai ressayé de faire l'equation, en mettant tout les x du même coté mais je n'arrive pas à trouver le même résultat que vous ... :
f(x)=g(x)

(x²)/3 +1=(x^3)/27-(4x²)/9-x+18
(x²)/3-(x^3)/27+(4x²)/9+x-18+1=0
(3x²)/9+(4x²)/9-(x^3)/27+x-17=0
(7x²)/9-(x^3)/27+x-17=0
7x²*(-9)-(x^3)*(-27)+x-17=0
-63x²+27x^3+x-17=0

J'ai regardé dans ma partie 1, on ne retrouve pas votre résulatat sur aucune réponse ( ni le miens enfait)

J'ai, comme calculatrice, la T.I. 84 PLUS KEYPAD

Merci pour votre réponse ;)

yoshi

Modo Ferox

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Re : prix unitaire

Re,

Eh, l'affreux ! ^_^
Pour moi, pour passer du dénominateur 9 à 27, on multiplie par 3, pas par 9.
L'avant-dernière ligne est fausse et l'antépénultième, juste !
Corrige et tu tomberas sur la même chose que nous...

@+

brbrbrbr

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Re : prix unitaire

Grâce a vous je fais non seulement des maths .. mais j’apprends des mots haha merci pour la découverte du mot "antépénultième" :)

(x²)/3 +1=(x^3)/27-(4x²)/9-x+18
(x²)/3-(x^3)/27+(4x²)/9+x-18+1=0
(3x²)/9+(4x²)/9-(x^3)/27+x-17=0
(7x²)/9-(x^3)/27+x-17=0
(3*7x²)/(9*3)-(x^3)/27+x-17=0
(21x²)/27-(x^3)/27+x-15=0
21x²-(x^3)+x*27-17x27=0
21x²-(x^3)+27x-459=0
Et la oups j'ai un problème de signes ? :o

yoshi

Modo Ferox

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Re : prix unitaire

Salut,

Oui, hein...
Synonyme d'avant-dernier : pénultième...
Bon, non pas de pb de signe :
Tu n'as qu'à tout multiplier par -1 (ça changera pas le 2e membre ^_^) et tu retrouveras ce qu'on t'a annoncé...
Maintenant : au tour des résultats attendus par ymagnyma !...

@+

brbrbrbr

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Re : prix unitaire

merci yoshi :)
ymagygna ! J'ai utilisé la methode calculatrice et il me semble que les réponses sont donc pour la 1)459euros et pour la 2) environ  21;3 unités!

ymagnyma

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Re : prix unitaire

L'un de nous confond les réponses, et, tout comme Yoshi, j'ai deux solutions positives, je suppose que dans ton énoncé il y a une valeur minimale de mise en vente. Et donc que f et g sont définies pour x pas trop petit, (ou tout le contraire, un prix max de vente et donc f et g définies pour x par trop grand).

Vu ta réponse, tu as trouvé x=21.3, mais l'unité est ... la centaine d'euros ! Subtilité ! Donc il faut être plus précis pour donner à l'euro près, (là tu es à la dizaine près).

Quand à la production, ben l'unité est en milliers d'articles, donc gaffe aussi.

Le 453, c'est quoi exactement ? l'abscisse du premier point d'intersection * 100 ? Auquel cas, pourquoi pas, ça marche presque, j'ai 452, mais la production correspondante n'est pas 21,3, 21,3 quoi ?

réexplique moi tes résultats s'il te plait.

freddy

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Re : prix unitaire

Salut !

I'm back !

La subtilité du sujet, outre la dimension de x et de g(x) et f(x), est de se souvenir que : prix et quantités doivent être positifs ET la demande d'un bien décroît quand son prix augmente.

Je n'ai fait aucun calcul ni aucune représentation graphique, mais il faut limiter la recherche de la solution (unique sous les hypothèses de rationalité des consommateurs et producteurs) dans la partie où la fonction g est positive et décroissante, pour x positif et croissant. On laisse tomber tout le reste !

Alors x = ... ?

Dernière modification par freddy (03-11-2013 08:03:21)