Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#2 06-10-2013 13:56:21
- yoshi
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Re : Développement limité
Bonjour,
Extrait de BibMath :http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … /d/dl.html
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de [tex]\mathbb{R}[/tex], à valeurs dans [tex]\mathbb{R}[/tex], et soit x0 un point de I. On dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 s'il existe des réels a0,...,an et une fonction définie sur I et qui tend vers 0 quand x tend vers x0 tels que :
[tex]f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_1)+\cdots+a_n(x-x_n)[/tex]
Ça te va ?
@+
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#3 06-10-2013 14:26:03
- mathovore
- Membre
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Re : Développement limité
Mon problème c'est que (au voisinage de 0)
Normalement ça donne
f(x): 1+ (n*(x+1)^n-1)*x
donc 1+(n*1^n-1)
donc 1+ (n^n-1)x
D'où viens le n tout seul c'est surement tout bête mais je n'arrive pas à le simplifier.
Merci
Dernière modification par mathovore (06-10-2013 14:27:51)
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#5 06-10-2013 15:19:16
- mathovore
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Re : Développement limité
J'ai pas compris. Mais vraiment rien
Ça veut dire quoi les trucs entre parenthèses? C'est comme si c'était une suite avec une somme c'est cela?
Merci
Dernière modification par mathovore (06-10-2013 15:20:31)
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#7 06-10-2013 16:58:17
- mathovore
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Re : Développement limité
Je t'avoue que j'ai encore du mal à comprendre.
Tu peux m'expliquer sans les parenthèses ou pas? parce que dans ma fac ils n'ont pas utilisés cette méthode.
Merci
Dernière modification par mathovore (06-10-2013 17:09:03)
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#8 06-10-2013 18:26:40
- yoshi
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Re : Développement limité
Bonjour,
Là, je suis un peu embarrassé pour répondre...
Ce ne sont pas des parenthèses, [tex]\binom n k[/tex] c'est une des représentations des coefficients binomiaux (d'ailleurs le code LaTeX est \binom{k}{n} qui donne, en encadrant la formule avec les balises tex, [tex]\binom{n}{k}[/tex]), coefficients qui sont le plus souvent écrits [tex]C^n_k[/tex] et que tu peux retrouver, par exemple, avec le triangle de Pascal :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
[tex](1+x)^6 = 1 + 6x + 15 x^2 + 20 x^3 + 15x^4 + 6x^5 +x^6[/tex] DL à l'ordre 1 au voisinage de 0 : 1+6x
[tex](1+x)^6 = C^6_0x^0 + C^6_1x^1+c^6_2x^2+....+ C^6_6x^6[/tex]
Plus généralement, formule du binôme de Newton
[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^n_k a^kb^{n-k}[/tex]
Bon, si quelqu'un a l'impression que je réponds à côté, qu'il ne fasse pas prier pour remettre mathovore sur les bons rails...
Merci pour lui...
@+
[EDIT]
DL à l'ordre n au voisinage de 0
[tex](1+x)^n = 1+ nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2+.................[/tex]
n c'est [tex] C^n_1[/tex] : [tex]C^n_1=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n(n-1)!}{1!(n-1) !}=\frac{n}{1!}=n[/tex]
[tex]\frac{n(n-1)}{2!}[/tex] c'est[tex] C^n_2[/tex] : [tex]C^n_2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2) !}=\frac{n(n-1)}{2!}[/tex]
Dernière modification par yoshi (06-10-2013 18:40:38)
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#9 06-10-2013 18:47:35
- mathovore
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Re : Développement limité
Merci yoshi c'est vraiment gentil de t'être cassé autant la tête
J'ai pas saisit mais bon j'y reviendrai à un autre moment je travaille depuis 7 heures du mat sans m'arrêter donc je n'arrive plus trop à comprendre quoi que ce soit.
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#11 06-10-2013 19:53:11
- yoshi
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Re : Développement limité
Rebonsoir,
Tu as écrit une bouillie pour les chats assez illisible :
Mon problème c'est que (au voisinage de 0)
Normalement ça donne
f(x): 1+ (n*(x+1)^n-1)*x
donc 1+(n*1^n-1)
donc 1+ (n^n-1)xD'où viens le n tout seul ?
D'abord, je vois (1+x) dans tes essais de DL...
La définition que que j'ai donnée était incorrecte, la revoilà propre : [tex]f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n\epsilon(x)[/tex] est au voisinage de x0.
Dans ton cas x0 = 0, au voisinage de 0 !!!
La formule devient donc : [tex]f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\epsilon(x)[/tex]
Ensuite, c'est quoi ça ?
f(x): 1+ (n*(x+1)^n-1)*x -->[tex] 1+ (n(x+1)^{n-1})\times x[/tex] Où as-tu trouvé ça ?
Ensuite le n tout le seul, je t'ai montré que c'était [tex]C^n_1[/tex] (Combinaisons de 1 élément parmi n) l'un des coefficients du binôme de Newton...
Je t'ai montré qu'à l'ordre 2 après 1+nx il y avait [tex]\frac{n(n-1)}{2!}[/tex] et je t'ai montré que c'était aussi [tex] C^n_2 =\frac{n!}{2!(n-2)!}[/tex] après simplifications...
7 h d'affilée, c'est trop, il faut ménager des pauses de 1/4 d'heure à 1/2 h pour se changer les idées avec autre chose...
@+
[EDIT]
Je viens de voir que tu as trouvé une piste...
Dernière modification par yoshi (06-10-2013 19:54:10)
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#12 06-10-2013 21:52:10
- mathovore
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Re : Développement limité
Salut
En médecine pas le temps de faire des pauses ou d'apprendre une nouvelle écriture: celle du code latex mais bon je suis bien forcé si je veux de l'aide.
En fait das ma fac on nous a appris qu'un développement limité permet d'approximer une fonction un peu compliqué par un polynome de degré 2 ou une fonction affine.
Nous on travaille généralement à l'ordre un et on applique la formule:
f(x)=f(x0)+(f'(x0))/1!*(x-x0)
Désolé mais je suis sur Chrome et apparement ce n'est pas compatible avec le code Latex
Merci
Dernière modification par mathovore (06-10-2013 21:52:54)
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#13 06-10-2013 22:10:03
- yoshi
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Re : Développement limité
Re,
Chrome as compatible avec Latex ?
Bien sûr que si, je viens de passer sur Chrome, je rédige le présent message : toutes les formules Latex s'affichent.
Simplement tu as besoin d'encadrer ta formule avec les balises tex :
Sans balises : C^n_2 =\frac{n!}{2!(n-2)!}
Avec balises : [tex]C^n_2 =\frac{n!}{2!(n-2)!}[/tex]
Ta formule
Sans balises : f(x)=f(x0)+(f'(x0))/1!*(x-x0)
Avec balises : [tex]f(x)=f(x0)+(f'(x0))/1!*(x-x0)[/tex]
Mieux :
Sans : f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\times(x-x_0)
Avec : [tex]f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\times(x-x_0)[/tex]
Fais l'essai suivant :
1. copie/colle dans une réponse le code sans balises ci-dessus
2. Sélectionne la formule
3. Dans la barre d'outils de des messages, clique sur l'icône TeX tout à gauche. Les balises sont mises.
4. Demande la prévisualisation : ça marche.
C'st mieux d'apprendre, mais si tu n'as pas le tempos, ce n'est pas indispensable.
En effet si l'environnement JAVA est installé sur ta machine, alors clique sur le bouton Insérer une équation, qui t'ouvrira l'éditeur de formules mathématiques créé par fred.
Un petit (70 ko) tuto en pdf est accessible depuis l'éditeur.
Cet éditeur est du genre de celui de Word ou OpenOffice...
@+
Dernière modification par yoshi (06-10-2013 22:24:06)
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#16 06-10-2013 22:32:29
- yoshi
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Re : Développement limité
RE et bonne nuit,
Mieux :
Sans : f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} \times (x-x_0)
Avec : [tex]f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\times(x-x_0)[/tex]
Syntaxe : \frac{ }{ }
x_0 le _ met le 0 en indice. Attention x_12 -->[tex] x_12[/tex] mais x_{12} -->[tex] x_{12}[/tex]
Même problématique avec les puissances (et plein d'autres trucs...)
x^2 --> [tex]x^2[/tex] mais x^23 --> [tex]x^23[/tex], alors que x^{23} --> [tex]x^{23}[/tex]
Mais avec l'éditeur, tout ça est géré automatiquement...
@+
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