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LS

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Spé maths

Bonjour j'ai des petites difficultés à résoudre le problème suivant, merci à ce qui peuvent m'aider

NB : les n, n-1, 1, 0 ... à côté du a sont en indice (j'ai mis des parenthèses pour ne pas confondre avec multiplier) et à côté des x, p et q ils sont en exposant (d'où le ^)

Soit l'équation:
a(n)x^n + a(n-1)x^n-1 + ... + a(1)x + a(0) = 0, où a(n), a(n-1), ..., a(1) et a(0) sont des entiers (a(n) est différent 0)
On ademt une solution de la forme x=p/q où p et q sont des entiers tels que la fraction soit irréductible.

On a démontré que p divise a(0) et q divise a(n)

On demande d'énoncer un critère permettant de connaître les fractions qui peuvent être solutions d'une équation polyynomiale à coefficients entiers.

Est-ce les fractions de la forme p/q (p et q entiers et premiers entre eux) tel que p/q divise a(0)/a(n) ? Ou tel que p/a(0) et q/a(n) ? (je ne sais pas si la première forme est juste)

On demande ensuite une application :
Déterminer les racines de l'équation :
a) 4x^3-7x^2-12x+21 = 0
b) 30x^3-31x^2+10x-1 = 0
c) l'équation suivante a-t-elle une racine rationnelle? 5x^5-12x^4-24x^3+21x^2+28x+6 = 0
d) Soit a un entier, et l'équation 2x^7 +ax^3 -3 = 0, si l'on suppose que cette équation a une racine rationnelle, quelles peuvent être les valeurs possibles de a?

Je ne vois pas très bien comment appliquer ce qui a été vu précedemment.
Merci de votre aide et à bientôt

cléopatre

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Re : Spé maths

Salut à toi LS,
Comme je passe par la et que je vois ton message qui me dis quelquechose, je vais tenter de te répondre clairement.

a) tu sais que q divise 4 et que p divise 21
donc il faut chercher dans p=(1;3;7;21) et q=(1;2;4)
Attention, n'oubli les opposées s'il faut résoudre dans Z bien entendu et prend les qu'une seul fois : p=(1;3;7;21) et q=(-4;-2;-1;1;2;4)
Donc tu devra tester tous les p/q :  1 ; 3 ; 7 ; 21 ; 3/2 ; 7/2 ; 7/4 etc...
Tu t'apercevra que seul 7/4 convient dans Z.

b) Même chose que pour le a), et on trouve par la méthode : 1/5 ; 1/3 et 1

c) Pareil qu'avant. Il y a bien une racine rationnelle. A toi de la trouver la quelle.

d) Voila quelquechose de nouveau. Il faut donc voir à par rapport aux racines rationnelles possibles p/q
x peut etre égale à : 3/2 ; 3 : 1/2 ; 1 et les opposées : -3/2 ; -3 ; -1/2 ; 1
Part rapport à chacun de ses x possibles tu trouve les a possibles
Par exemple, pour x=1 on a : 2+3a-3=0 ssi a=1/3 sauf erreur. A toi de trouver les autres valeurs de a

A plus LS ;)

Dernière modification par cléopatre (07-01-2007 17:57:34)

john

Invité

Re : Spé maths

On demande d'énoncer un critère permettant de connaître les fractions qui peuvent être solutions d'une équation polyynomiale à coefficients entiers.
Est-ce les fractions de la forme p/q (p et q entiers et premiers entre eux) tel que p/q divise a(0)/a(n) ? Ou tel que p/a(0) et q/a(n) ? (je ne sais pas si la première forme est juste)

Mon humble avis...
On est ici dans le cadre de la division euclidienne a = b.q + r avec a, b, q et r entiers (éventuellement relatifs) et 0 =< r < b. On dit que b divise a si r = 0. A ta place je m'en tiendrais donc aux fractions telles que p divise a(0) et q divise a(n) car p/q (et donc aussi a(0)/a(n)) n'est jamais entier.
A+

cléopatre

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Re : Spé maths

Es tu arrivé à le faire LS ?

LS

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Re : Spé maths

Oui avec vos explications je suis arrivé à le faire.

Merci beaucoup.

cléopatre

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Re : Spé maths

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