Pgcd, Ppcm

cléopatre · 06-01-2007 23:30:38

Bonjour à tous et à toutes !!
J'ai un petit problème sur un exercice que j'ai résolu mais je n'aime pas la manière..

Soit x et y deux entiers naturels tel que x<y :
Trouver tous les couples (x, y) tel que :
PGCD(x,y)=x-y
PPCM(x,y)=228
Moi j'ai pris tous les diviseurs de 228 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 ; 19 ; 38 ; 57 ; 76 ; 114 ; 228
Et en testant j'ai remarqué que seul (x,y) = (114,228) est solution.
Durant l'exercice on nous fait démontré que x= k (x-y) et y = (k+1) (x-y) est solution
J'imagine qu'il y a un moyen plus mathématiques et plus simpathique de résoudre la dernière question.
En effet, si on me pose la même question pour un nombre beaucoup plus grand que 228, ce ne sera plus la même affaire.

Bon en tout les cas, merci de lire ce message et d'y répondre si vous le souhaitez.
En tous les cas, je vous souhaite une bonne année remplie de réussite et je fais un gros bisous à tous les matheux (en particulier à john qui m'a beaucoup aidé sur les probalités). D'ailleurs j'ai eut 21/20 (bous 1 point) au contrôle coefficient 6 en Terminale S pas mal non ?

yoshi · 07-01-2007 10:14:04

Bonjour,

J'ai une piste à t'offrir. Il y en a peut-être d'autres... qui sait, John, après les restes chinois, va peut-être nous offrir les diviseurs hindous !

Bien, plus sérieusement...
Au passage, tu as dû faire une erreur : en effet si x<y alors x-y < 0. Le PGCD ne serait-il pas y - x ?
Ou alors x > y et x = (k+1)(x-y) et y =k(x-y) ?
Bon, tu adapteras...

Il faut remarquer que xy = PPCM x PGCD (vrai seulement avec deux nombres !)
Je note p le PGCD, on a donc x =(k + 1)p et y = kp
D'où xy = k(k+ 1)p² = 228p ou encore k(k+1)p = 228.
Sachant que 228 = 2² x 3 x 19, je trouve un autre couple (x;y) évident : (x ; y) = (76 ; 57)

76-57=19 ; PGCD(76;57)=19
76 = (3+1) x 19
57 = 3 x 19
PPCM(76;57= 3 x 4 x 19 = 228

Bravo pour ton contrôle (et donc à John pour la qualité de ses explications)

@+

john · 07-01-2007 11:04:26

Hello cléopatre,
Sur ce coup là, c'est yoshi qui mérite le bonus...
Merci pour tes bons voeux, bonheur et réussite pour toi. Avec des remerciements comme ça, tu as déjà le premier paragraphe de ta thèse de maths. On va se partager le bisou(s ?) envoyé à tous les matheux de la BM (j'en rosis déjà...). Bravo pour ce brillant résultat à réitérer.
Au plaisir.
Bye

cléopatre · 07-01-2007 16:11:35

Bon, j'ai fait l'exercice et je l'ai fait un peu différemment parceque le fait de dire qu'il y a des solutions évidentes sa me gène car si ce n'était pas évident, je ne saurais plus comment faire. AU final, je suis tout de même parti de ce que tu as fait.
Alors je me suis dis comme PPCM * PGCD = xy
alors PPCM * (y-x) = k * (y-x) * (k+1) * (y-x)
donc PPCM = k * (k+1) * (y-x)
Les diviseurs de 228 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 ; 19 ; 38 ; 57 ; 76 ; 114 ; 228
Alors k = 1 ou k = 2 ou k = 3
Donc (y-x) = 19 ou (y-x) = 38 ou (y-x) = 114
Donc il y a que les couples (19 , 38) ; (38 , 57) ; (57, 76) et (114, 228) à tester
Et on a PPCM(19, 38) = 38 donc couple à exclure
PPCM(38, 76) = 38 donc couple à exclure
Cependant, PPCM(57, 76) = 228 et PGCD(57, 76) = 19 = 76-57 donc OK
et PPCM(114, 228) = 228 et PGCD(114, 228) = 114 = 228-114 donc OK
Les solutions sont donc (114, 228) et (57, 76)
Merci à vous deux et à bientôt
PS : Les bisous vous pouvez vous les gardez que pour vous deux ;)

Dernière modification par cléopatre (07-01-2007 16:12:44)

john · 08-01-2007 07:18:06

Ô tout puissant yoshi si tu pouvais supprimer mon dernier message... car curieusement, je me suis réveillé cette nuit avec une certitude très désagréable (comme d'hab. je suis tjs bien trop sûr de moi pour daigner vérifier mes calculs). Je rectifie donc ce pataquès.
PGCD = d = x - y <=> 1 = a - b (Bezout en divisant par d)
PPCM = m = a.b.d = 228 = 2².3.19
d'où les solutions (avec les calculs que yoshi a faits de tête, ce qui a dérouté cléopatre sauf erreur d'interprétation)
soit a = 3, b=2 et d = 38 => x = a.d = 114 et y = b.d = 76
soit a = 4, b=3 et d = 19 => x = 76 et y = 57
Les réponses sont donc finalement : (114, 76) et (76, 57)
J'ai vérifié cette fois, mais bon... comme disent les jeunes.
Bye

john · 08-01-2007 07:49:22

... et comme je constate que vous n'avez pas les mêmes réponses il y a encore un pb. Mais plus le temps.
A+

john · 08-01-2007 08:03:52

Ok, il manque le cas où a=2 et b=1. Cette fois je suis à la bourre
A+

cléopatre · 08-01-2007 09:01:00

Oui, sa revient exactement à faire ce que Yoshi a fait et j'en suis désolé, lol.
Et toi tu à oublié comme tu l'a dis le cas ou k=1 et k=2 et pour k=3 le couple (38,76) alors que moi j'ai oublié d'exclure le couple (76,114) !
Mais après, il faut vérifier qu'ils sont bien solutions !!
Et que leur PPCM soit bien égale à 228, me semble t-il, non?
Bisous ! Je file à l'ecole, à plus john et yoshi

Dernière modification par cléopatre (08-01-2007 09:07:06)

yoshi · 08-01-2007 14:08:40

Bonjour,

Les uns partent, les autres reviennent...
Ô divin John, j'ai exaucé ton voeu et viré le message incriminé...
Bon, je vais quand même expliciter ma pensée quand j'ai parlé de solution évidente. J'ai procédé par ellipse, je n'aurais pas dû...
Je suis parti de k(k+1)p = 228 = 2² x 3 x 19
Depuis j'ai un peu ruminé et voilà où m'ont mené mes cogitations (Attention, le titre du film est : "Dédé la bricole : le retour").

Entre k et k+1 si l'un est pair l'autre est impair : j'aime bien enfoncer les portes ouvertes... Ce qui veut dire que le PPCM ,quel qu'il soit , (ici 228) se décompose en un produit de facteurs premiers dont l'un est forcément le nombre 2.
Il y aura déjà donc toujours (quel que soit le PPCM pair donné) le couple solution (x;2x)...

Ensuite, pour l'exemple incriminé, il y avait encore k = 2 et k+1 = 3 avec PGCD = p= 228/6 = 38, k = 3 et k+1 = 4 (=2²) avec PGCD = p= 228/12 = 19 et c'est tout...
D'où les couples (38 x 2 = 76 ; 38 x 3 = 114) et (19 x 3 = 57 ; 19 x 4 = 76). Je ne vois pas pourquoi exclure (76,114)... Mes deux couples (76 ; 114) et ( 57 ; 76) répondent aux conditions posées : il ne peut pas en être autrement...
Je ne crois pas qu'on puisse déterminer à coup sûr, sans "bricolage", les valeurs consécutives k et k+1, mais contrairement à ce que pense cléopâtre, dans n'importe que cas faisant appel à des nombres "fréquentables" (concept introduit à l'intention des Profs de Collège pour les aider à utiliser des valeurs numériques de bon aloi), ce ne doit pas être si difficile que ça !

J'essaie donc une étude (plus ou moins) exaustive...
Puisque le facteur 2 est toujours présent, on doit vérifier la présence du facteur 3... : cas de k = 3 et k+1 = 4, puis le présence de 5 : laquelle pourrait déboucher sur k = 4 et k + 1 = 5, et k= 5 , k + 1 = 6..
Avec 2 et 3 présents mais pas de 5--> voir 7 ! Si pas de 7 --> voir 2^3 et 3^2 etc...
Si k est pair alors il est soit le double d'un nombre impair, soit le produit d'une puissance de 2 par un nombre impair... Ledit nombre impair d'ailleurs après 5, sera dans la décomposition un nombre premier "pur" (concept personnel)...
Je me demande si je suis clair...
En fait, si la décomposition comporte un 7, je vais chercher soit la présence de 2 x 3, soit celle de 2^3...

Cléopâtre, je ne retouve pas le message où tu nous questionnais sur nos âges... L'aurais-je "squizzé" en même temps que celui de John ?
En tous cas, je vais je te répondre... indirectement :

«Quel âge avez-vous ? », demande un élève à son Professeur. Et ce dernier répond par une énigme : « Il y a 5 ans, je dépassais des deux-tiers de ton âge le quadruple de celui-ci. Dans 1 an, il faudra multiplier ton âge par 16/5 pour trouver le mien ! ».
Quels âges ont-ils donc ?
Et il te faudra encore ajouter quelques années (11) à l'âge de l'énigmatique professeur pour trouver le mien !

Ce problème est l'un de mes préférés. Ceci dit, ce n'est pas souvent le cas de ceux qui l'ont à faire... C'est que nous n'avons pas la même conception de la beauté en mathématiques... 8-{)}

@+

[EDIT]
1 h après ! Ca y est, je l'ai retrouvé ton questionnement sur nos âges !
J'ajoute à ma réponse que John est un vrai puits de science et qu'il en sait, sans aucun doute, bien plus que moi !
[/EDIT]

john · 08-01-2007 14:11:33

Pourquoi désolée ? On s'amuse beaucoup non ?

D'où vient le couple (38, 76) que tu mentionnes ? Il n'est pas solution !

cléopatre a écrit :

Mais après, il faut vérifier qu'ils sont bien solutions !!
Et que leur PPCM soit bien égale à 228, me semble t-il, non?

Dans cette méthode, la vérification ne fait pas partie de la solution. Elle n'est donc pas obligée, mais seulement vivement conseillée.
En revanche, dans la méthode d'élimination que tu as proposée, effectivement il faut tester tous les cas recensés.
Pour conclure, je dirais que la bonne méthode est quand-même celle proposée par yoshi (non par complaisance). Mais il faut bien reconnaître que le piège a=2, b=1 est très dangereux et que sans tes calculs, probablement personne n'aurait rectifié.
Les solutions sont finalement : (228, 114), (114, 76) et (76, 57)
Bye

john · 08-01-2007 19:21:54

cléopatre a écrit :

Rebonjour,
Il me semble que vous faites erreur en pensant que (76,114) est solution car certe y-x=PGCD(76,114) mais PPCM(76,114)=114 et non 228

Aie ! Il te faut revoir très vite le calcul du ppcm car le bac approche.
Il y a un truc secret pour ne jamais oublier le calcul du ppcm et du pgcd mais chaque chose en son temps... promis je te le confierai dès que tu auras révisé ça.
A+

john · 08-01-2007 19:25:58

... et j'allais oublier : Merci à toi Ô grand yoshi de me sauver la face devant les jeunes filles (sans contrepèterie cette fois).
A+

yoshi · 08-01-2007 19:53:34

Bonsoir,

De rien John ! C'est normal.... Mais il se passe des choses bizarres sur le forum ce soir....
Des messages qui arrivent avant d'être partis...
Un message de Cléopâtre qui a disparu...
Une message que je ne devais pas envoyer à Théo, que je suis sûr d'avoir viré et qui réapparaît après la confirmation que je lui ai envoyé...

Est-ce moi qui devient sénile ?

Enfin, demain sera un autre jour...

A l'intention de Cléopâtre :

Je t'ai écrit que mes couples étaient bons et qu'il ne pouvait pas en être autrement !
Ce n'était pas de la suffisance, mais une certitude due à la méthode de calcul...
Et maintenant, qui (comme on dit dans les romans à l'eau de rose) va voir son joli visage se couvrir d'une rougeur virginale ? Hein ?
Car enfin, écrire PPCM(76,114) = 114 c'est pousser le bouchon un peu loin... Que je sache le PPCM doit être un multiple de 76 et 114, or 114 ne peut en aucun cas être un multiple de 76.
76 = 2² x 19
114 = 2 x 3 x 19
D'où PPCM = 2² x 3 x 19 = 228

Quant à mon problème, si toi tu ne l'aimes pas, alors pense à la tronche des 3e quand ils le voient arriver sur leur table...
Mais c'est sa formulation qui en fait une des difficultés : elle demande une bonne maîtrise de la langue.
On cherche les âges actuels des 2 protagonistes.
Le verbe dépasser est à prendre dans le sens de "plus", "en plus"...

Dans le genre ch... je t'en offre un autre :
<< J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. Quand vous aurez l'âge que j'ai, nous aurons à nous deux 63 ans...
Quels âges avons-nous ? >>

Amuse-toi bien...

@+

cléopatre · 08-01-2007 20:06:33

Oula je crois que je suis grave la lol. En effet, j'ai fait une enorme erreur non excusable. J'étais persuadé de parler du couple (57,114)...
Bref sinon je comprends pas pourquoi quand yoshi parle, c'est mon nom qui est écrit...

yoshi · 08-01-2007 20:11:24

Bonsoir,

Cherche plus Cléopâtre : j'ai bien gaffé ! Pour le coup la rougeur (qui n'est plus virgina
Je dois m'y reprendre en 3/4 fois pour qu'un message parte, dans la bagarre, j'ai sûrement cliqué au mauvais endroit...
Je te présente donc mes plus humbles excuses pour avoir supprimé to message et écrit dedans à la place...

cléopatre · 08-01-2007 20:11:59

As tu 43 ans?

Dernière modification par cléopatre (08-01-2007 20:12:57)

yoshi · 08-01-2007 20:14:11

Re

As tu 27 ans?

Niet !

Désolé...

@+

cléopatre · 08-01-2007 20:18:03

non 43 j'ai dis pas 27 !! et tu peux pas m'aider pour le postulat?

Dernière modification par cléopatre (08-01-2007 20:18:56)

yoshi · 08-01-2007 20:19:06

RE re

As tu 43 ans?

Niet !

Mais il faudra encore ajouter 11 à l'âge de l'énigmatique Professeur...

Bye

yoshi · 08-01-2007 20:21:05

Bonsoir,

Hélas, je ne suis pas John... Ma culture mathématique commence à dater !
Je n'ai jamais entendu parler de ce postulat...

Snifff...

cléopatre · 08-01-2007 20:29:41

Il y a 5 ans je dépassais de 2/3 le quadruple de celui-ci--> y-5>2/3*4*x d'où y>8/3x+5 donc j'imagine que tu a plus de 29 ans donc de 40 ans
Ensuite, dans 1 an il faudra multiplier ton age par 16/5 --> y=16/5*(x+1)
x et y sont des entiers donc il suffit de voir pour quelles valeurs de x, y sera entier.
Donc pour x=4 on a y=16 et donc tu aurais 27 ans
pour x=9, on a y=32 donc tu aurais 43 ans
pour x =14, on a y=48 donc tu airais 59 ans
pour x=19, on a y=64 donc tu aurais 75 ans
pour x =24, on a y=80 donc tu aurais 90 ans lol
Arrêtons nous la je pense que les deux dernières valeurs ne sont pas réelle car la retraite pour un professeur est de 60 ans
Donc j'en déduis que tu as 59 ans!!!, est ce vrai?

yoshi · 08-01-2007 20:39:50

Tss ! Tsss !

C'est comme ça qu'on résout un vulgaire système de 2 équations à deux inconnues ????
Ah ça me rappelle un candidat au brevet des collèges qui a résolu le problème suivant de la même façon :
Une personne superstitieuse a cueilli 300 trêfles (à 3 et 4 feuilles), pour un total de 980 feuilles...
Mais comme il était malin, il a commencé par les trêfles à 4 feuilles et il a écrit :
1 t à 4 f + 299 t à 3 f = 901 f
2 t à 4 f + 298 t à 3 f = 902 f.....

Et il s'est arrêté au 80e essai !

Donc tu ne sauras si tu es dans le vrai que lorsque tu auras résolu effectivement le système... Un jeu d'enfants pour qui a eu 21/20 en Maths en TS !!!! Non ?

J'attends !

cléopatre · 09-01-2007 11:15:19

Mais le problème je crois que c'est que j'ai une équation + une inéquation (dépassais)
Donc je sais résoudre deux équations à deux inconnues mais sans équations, c'est impossible il me semble ;)
Cependant, ai-je la bonne réponse?

Dernière modification par cléopatre (09-01-2007 11:15:40)

cléopatre · 09-01-2007 11:18:46

Mais le problème je crois que c'est que j'ai une équation + une inéquation (dépassais)
Donc je sais résoudre deux équations à deux inconnues mais sans équations, c'est impossible il me semble ;)
Cependant, ai-je la bonne réponse?
Pour le trèfle :
4x+3y=980
x+y=300
On remplace et on trouve bien x=80(4 feuilles) et y=220 (3 feuilles)

yoshi · 09-01-2007 12:54:08

Bonjour,

Quand même.... Si en TS, tu ne trouvais pas le pb des trêfles... !!!
Pour les âges :
"....je dépassais des 2/3 de ton âge le quadruple de celui-ci" =mon âge (d'il y a 5 ans) était égal au quadruple du tien plus (+) encore les 2/3 de celui-ci...."...
Parce que n'était pas je dépassais les 2/3, mais des 2/3... Nuance ! Pas d'inéquation donc !

Je regarde le reste des messages,

@+

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#1 06-01-2007 23:30:38

Pgcd, Ppcm

#2 07-01-2007 10:14:04

Re : Pgcd, Ppcm

#3 07-01-2007 11:04:26

Re : Pgcd, Ppcm

#4 07-01-2007 16:11:35

Re : Pgcd, Ppcm

#5 08-01-2007 07:18:06

Re : Pgcd, Ppcm

#6 08-01-2007 07:49:22

Re : Pgcd, Ppcm

#7 08-01-2007 08:03:52

Re : Pgcd, Ppcm

#8 08-01-2007 09:01:00

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#9 08-01-2007 14:08:40

Re : Pgcd, Ppcm

#10 08-01-2007 14:11:33

Re : Pgcd, Ppcm

#11 08-01-2007 19:21:54

Re : Pgcd, Ppcm

#12 08-01-2007 19:25:58

Re : Pgcd, Ppcm

#13 08-01-2007 19:53:34

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#14 08-01-2007 20:06:33

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#15 08-01-2007 20:11:24

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#16 08-01-2007 20:11:59

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#17 08-01-2007 20:14:11

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#18 08-01-2007 20:18:03

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