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julie854

Invité

Différentielle

Bonjour,
est-ce-que quelqu'un serait capable de m'expliquer ce qu'est une différentielle ?
Pourquoi l'utilise t'on et comment on l'a calcule ?
Un cours simple s'il vous plait

Merci beaucoup

Roro

Membre expert

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Re : Différentielle

Bonjour,

La différentielle est la généralisation de la notion de dérivée à des fonctions de plusieurs variables.
On l'utilise comme on utilise la dérivée (avec quelques restrictions car toutes les propriétés des dérivées ne sont pas vraies pour les différentielles) par exemple pour déterminer des extrema, faire des changements de variables dans les intégrales...
Pour ce qui est d'un cours, il suffit de prendre n'importe quel bouquin traitant du "calcul différentiel", ou de regarder sur le net, et même plus simple : regarder sur bibmath avec la recherche 'différentielle'...

Roro.

JJ

Membre

Inscription : 04-06-2007

Messages : 110

Re : Différentielle

Bonjour Julie854,
Sur un forum, on ne peut pas refaire un cours et répéter ce qui a déjà été écrit mille fois par ailleurs, par exemple :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rentielle
Pour une présentation très "vulgarisatrice", voir par exemple le §.2 de l'article "Une querelle des Anciens et des Modernes" (sans lire ce qui suit dans l'article, pour ne pas être perturbé à ce niveau !!! ), par le lien :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

Dernière modification par JJ (16-09-2013 08:18:00)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

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Re : Différentielle

Bonjour,

Chère Julie, voudrais-tu bien retourner sur ce sujet et nous dire si la méthode proposée par Fred a fait avancer les choses, si tu en as été satisfaite, afin que ceux qui le désirent puissent proposer une autre approche ?

Merci d'avance

      Yoshi
- Modérateur -

julie855

Invité

Re : Différentielle

Donc si j'ai bien compris :
-3(cos ( ¶/4 ) +isin ( ¶/4 ) )

= 3( - cos ( ¶/4) - i sin ( ¶/4) )
= 3 ( cos (teta) + i sin (teta) )
car cos teta = - cos alpha
et sin teta = - sin alpha

or teta = ¶ + ¶/4 = 5¶/4

donc alpha = 3( cos ( 5¶/4) + i sin (5¶/4) )

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Différentielle

Salut Julie,

Oui, c'est juste, c'est ce que je comptais proposer à la place de ce qu'a dit Fred.
Pour une question d'ordre et de cohérence, peux-tu faire un copier/coller de ton post précédent dans la bonne discussion, ici :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 792#p41792.

Lorsque ce sera fait, je supprimerai mon présent post et le tien qui précède et n'est pas à sa place. Merci d'avance.

Julie si tu deviens une visiteuse régulière, il serait peut-être bon que tu mettes au LateX qui permet d'"écrire des formules.
- Si tu n'as pas envie de mémoriser ce langage et si Java est installé sur ta machine, tu peux cliquer sur le bouton Insérer une équation en bas de la fenêtre de rédaction des messages. Une toute petite (70 ko) aide en pdf est accessible depuis l'éditeur : le fonctionnement est très simple et très intuitif.
.- Si quelques minutes d'apprentissage ne te rebutent pas, alors  tu peux taper tes formules "à la main" (même si tu n'as pas Java) en suivant ce tuto indiqué par la mention Code LateX :

@+

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Différentielle

Salut

[tex]\bullet[/tex] Merci yoshi pour tout le travail fait (je tiendrai en compte tes remarques)
[tex]\bullet[/tex] Pour Julie, voici une  contribution  qui peut t'aider à comprendre un peu la notion de differentielle.
Considérons l'application [tex]f[/tex] de [tex]{\mathbb R}^2[/tex] vers [tex]{\mathbb R}[/tex] définie par [tex]f(x,y)=x^2y+ 5 y^3[/tex] pour tout couple [tex](x,y)[/tex] de  [tex]{\mathbb R}^2[/tex].
La question est de savoir si on perturbe les  variables [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex]  respectivement d'un accroissement 'petit '  [tex]h[/tex]   et  [tex]k[/tex] , la nature de la perturbation de l'image [tex]f(x,y)[/tex].
On va donc calculer la différence  [tex]\Delta_{x,y,h,k} = f(x+h,y+k) - f(x,y)[/tex] pour [tex] (x,y)=(1,2)[/tex]  par exemple.
Le calcule donne : [tex] \Delta_{1,2,h,k} = 4h+61k+2hk+2h^2+h^2k+30k^2+5k^3[/tex]
On remarque que cette perturbation est composée de deux parties:
La première :[tex]\large L(h,k)=4h+61k[/tex]
et la deuxième: [tex]\large\varphi(h,k)= 2hk+2h^2+h^2k+30k^2+5k^3[/tex]
En examinant les deux parties :
La première est linéaire par rapport à la variable [tex](h,k)[/tex] et la deuxiéme tends vers 0 plus vite que [tex]h[/tex] et [tex]k[/tex] eux mêmes  quand [tex]h[/tex] et [tex]k[/tex] tendent vers [tex]0.[/tex].
Si on convient de poser [tex]||(h,k)||  [/tex] le nombre réel [tex]\sqrt{x^2+y^2}[/tex], on exprime cette dernière remarque en disnant que le rapport  [tex]\varepsilon(h,k)=\frac{\varphi(h,k)}{||(h,k)||}[/tex]  tends vers [tex]0[/tex] quand [tex]h[/tex] et [tex]k[/tex] tendent vers [tex]0[/tex]. On dit aussi que  [tex]\varphi(h,k)[/tex] est négligeable devant [tex]||(h,k)||[/tex] au voisinage de [tex](0,0).[/tex]

Dans ces conditions, on dit que l'application [tex]f[/tex] admet l'application linéaire  [tex]L[/tex] comme différentielle au poit [tex](1,2)[/tex].
La première utilité de cette différentielles est qu'elle donne une valeur approchée de  [tex]\Delta[/tex] quand [tex](h,k)[/tex]  tends  vers [tex](0,0)[/tex]

Comment determine-t-on [tex]L[/tex] ?
Calculons les dérivées partielles de [tex]f[/tex]

[tex]\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)=2xy   \quad , \quad \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=x^2 +15y^2[/tex]

et pour [tex](x,y)=(1,2)[/tex] on obtient :

[tex]\frac{\partial f}{\partial x} (1,2)=4   \quad , \quad \frac{\partial f}{\partial y} (1,2)= 61[/tex]

En regardant l'expressionde [tex]L[/tex] on voit la place des coeffiocients  4 et 61 :  [tex]L(h,k)= h \frac{\partial f}{\partial x} (1,2) + k \frac{\partial f}{\partial y} (1,2)[/tex]

Ce qui donne en somme :

[tex]f(1+h,2+k)= f(1,2) + h \frac{\partial f}{\partial x} (1,2) + \frac{\partial f}{\partial y} (1,2)+ ||(h,k)|| \varepsilon((h,k))[/tex]

avec :   [tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)}  \varepsilon (h,k) =0[/tex]

En bien lisant ton cours j'espére que cette contribution t'aide à faire les premiers pas vers le calcul différentiel ....

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (17-09-2013 02:09:49)

julie8555

Invité

Re : Différentielle

Merci j'ai compris :)