Forum de mathématiques - Bibm@th.net

d6bels

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DM de seconde

Bonjour à tous voilà j'ai à faire cet exo :

Soit ABC un triangle quelconque.
On appelle C son cercle circonscrit et O le centre de C.
La bissectrice de l'angle BAC coupe le segment [BC] en K et le cercle C en E.

1)a/ Démontrer que les triangles AEB et AKC sont semblables.
b/ En déduire que : EB/CK = AB/AK

2)a/ Démontrer que les triangles AEC et AKB sont semblables.
b/ En déduire que : EC/BK = AC/AK

3) Justifier que les triangles BOE et EOC sont isométriques.

4) Déduire des question précédentes que : KB/KC = AB/AC

5) Application :
a/ AB = 8cm ; BC = 9cm ; CA = 10cm
b/ Justifier l'affirmation :
Si un triangle ABC est isocèle en A, alors la bissectrice de l'angle BAC est aussi la médiane issue de A.

Le 4) et le 5) me posent problème, j'ai fait les trois premières questions sans trop de mal mais là je bloque totalement.
Si quelqu'un pouvais me mettre sur la voie pour ces deux dernières questions ce serait super ...
Merci d'avance

D6BELS

Fred

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Re : DM de seconde

Bonjour,

  Tu as presque tout fait!
Les deux premières questions te permettent d'exprimer KB/KC en fonction de AB/AC et de EB et EC.
Ensuite, la troisième question te dit que EB=EC, ce qui permet de conclure.

Fred.

d6bels

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Re : DM de seconde

Merci de votre réponse, mais je n'y arrive toujours pas ... :-s

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM de seconde

Bonjour,

Je complète donc (un peu) le message de Fred.
Il te faut diviser membre à membre les deux égalités de rapports obtenues au 1) et 2).
En voilà un morceau :
[tex]\frac{EB \over CK}{EC \over BK}[/tex]
IL te reste à faire de même pour le deuxième membre et d'écrire = entre les deux...
Ensuite dans chaque membre, tu appliques la règle de division des fractions. Mon morceau précédent devient :
[tex]{EB \over CK}\times{BK \over EC}[/tex]
ou encore :
[tex]{EB \over EC}\times{BK \over CK}[/tex]
Tes triangles étant isométriques alors EB = EC et donc le rapport de EB et de EC vaut 1...
Dans ton deuxième membre, il y a une simplification évidente...
ET tu arrives à l'égalité des rapports demandées...

En ce qui concerne le 5)b).
Puisque ABC est isocèle en A, alors que vaut le rapport de AB et de AC ? Et donc celui de BK et CK ?
La conclusion pour K en découle immédiatement...

@+

d6bels

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Re : DM de seconde

Et bien merci beaucoup, j'en ai un peu bavé pour la 5ème je me compliquais beaucoup trop en fait.
Merci beaucoup de votre aide !