Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#4 12-08-2013 11:26:56
- yoshi
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- Messages : 17 401
Re : un enigme mathématique
Bonjour,
Comme on disait quand j'étais en Fac : c'est "bestialement calculatoire" !
La piste immédiate est donc :
montrer que [tex](1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)[/tex] s'écrit sous la forme A², A étant une expression algébrique...
@+
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#5 13-08-2013 16:24:53
- amatheur
- Membre
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- Messages : 299
Re : un enigme mathématique
salut
yoshi a parfaitement raison, une attaque par force brute permet de résoudre l'exo:
d'abord il est évident que la somme [tex]a+b[/tex] ne peut être nulle, puis par la substitution [tex]c=\frac{1-ab}{a+b}[/tex] on a [tex]\sqrt{\left(1+{a}^{2}\right)\left(1+{b}^{2}\right)\left(1+{c}^{2}\right)}=\frac{\left(1+{a}^{2}+{b}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}\right)}{\left|a+b\right|}\in \mathbb{Q}[/tex].
ça fait deux jours que je cherche une démo plus élégante en utilisant les théorèmes de l'arithmétique, mais je n y arrive pas. cependant, je reste preneur si jamais quelqu'un y arrive!
@+
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#6 13-08-2013 22:44:22
- totomm
- Membre
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- Messages : 1 093
Re : un enigme mathématique
Bonsoir,
On résoud cette "énigme d'apoi" avec assez d'élégance en utilisant l'identité de diophante deux fois consécutivement
identité de diophante : (a²+b²)(c²+d²) = (ac-bd)² + (ad+bc)²
donc en prenant les deux premiers facteurs sous la racine :
(1+a²)(1+b²) = (1-ab)² +(b+a)²
et une deuxième fois : ((1-ab)² +(b+a)²)(1+c²) = ((1-ab)-(b+a)c)² + ((1-ab)c + (b+a))²
Développant ce deuxième membre il vient :
(1-ab-bc-ca)² + ((1-ab)c + (b+a))² et d'après l'hypothèse le premier carré est nul !
reste donc sous la racine le seul carré (a+b+c-abc)²
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#8 14-08-2013 00:46:22
- apoi
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- Messages : 122
Re : un enigme mathématique
Bonsoir,
On résoud cette "énigme d'apoi" avec assez d'élégance en utilisant l'identité de diophante deux fois consécutivement
identité de diophante : (a²+b²)(c²+d²) = (ac-bd)² + (ad+bc)²
donc en prenant les deux premiers facteurs sous la racine :
(1+a²)(1+b²) = (1-ab)² +(b+a)²
et une deuxième fois : ((1-ab)² +(b+a)²)(1+c²) = ((1-ab)-(b+a)c)² + ((1-ab)c + (b+a))²Développant ce deuxième membre il vient :
(1-ab-bc-ca)² + ((1-ab)c + (b+a))² et d'après l'hypothèse le premier carré est nul !
reste donc sous la racine le seul carré (a+b+c-abc)²
s'il vous plait totomm pourriez - vous me donner des identités tels l'identité de " diophante " ?
merci d'avance
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#9 14-08-2013 08:56:09
- totomm
- Membre
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- Messages : 1 093
Re : un enigme mathématique
Bonjour,
@ amatheur : dans votre post #5 vous dites bien [tex]c=\frac{1-ab}{a+b}[/tex]
en faisant (1+c²), je ne vois pas où est passé le -2ab de (1-ab)². Merci de me corriger
@ apoi : Je ne peux pas donner des recettes toutes cuites. D'où viennent vos exercices qui ont l'air de chercher uniquement les difficultés ?
quelles sont vos motivations, qu'étudiez-vous ? Les conseils et informations déjà donnés ne vous conviennent pas suffisamment ?
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#11 14-08-2013 15:09:05
- amatheur
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- Messages : 299
Re : un enigme mathématique
re
s'il vous plait totomm pourriez - vous me donner des identités tels l'identité de " diophante " ?
merci d'avance
je crois que tu trouveras ton bonheur ici: www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=41491
tu peux aussi t'amuser à démontrer ces résultats, bon courage!
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