Forum de mathématiques - Bibm@th.net

missedz

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Résonance et valeurs propres

Bonjour,
je suis nouvelle sur ce forum , j’espère que je trouverai une réponse a ma question :

voila j'ai cette partie (Introduction d'un article)

et je ne comprend pas ce qu'est le terme "résonance" et ça relation avec les valeurs propre d'un problème  linéaire .

Merci pour votre aide .

yoshi

Modo Ferox

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Re : Résonance et valeurs propres

Bonjour,

Je ne suis pas compétent pour traiter le sujet, mais le terme resonance me fait penser au terme français "résonance" avec un seul n aussi qui est dans ma mémoire lié à la Physique : j'ai dû voir ça dans le temps au Lycée (c'est loin).

A cette époque, on m'avait expliqué que si une colonne de soldats décidaient de traverser un pont suspendu au pas cadencé, le pont subirait un phénomène de résonance et ses oscillations s'amplifieraient régulièrement jusqu'à la destruction du pont.
Qui dit oscillation, dit "sinusoïde" et je retrouve les maths avec la trigo...

Plus détaillé que ma mémoire :
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sonance

Vois-tu un rapport avec ton sujet ?

@+

missedz

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Re : Résonance et valeurs propres

Bonjour,
Merci pour avoir pris la pêne de me répondre mais franchement je sais pas !
je n'ai pas encor compris la relation de la résonance en physique avec ce probléme aux limites .

Cordialement

pas_glop

Invité

Re : Résonance et valeurs propres

Bonjour,

Avez-vous déjà fait de la balancoire? Si oui, vous avez surement remarqué qu'en poussant en rythme, on va de plus en plus haut. C'est ça la résonance : on applique une force extérieure au système qui a la bonne fréquence et l'amplitude des mouvements augmente.

Si les équations du mouvement sont linéaires, la fréquence de résonance est liée aux "valeurs propres" du système. Mais l'analyse de Fourier est l'outil le plus pratique pour l'étude d'un problème linéaire... Quel est l'article dont vous parlez?

Dans le cas d'unsystème masse-ressort sur lequel on applique une force extérieure f, on note x l'altitude de la masse et on a :
[tex]m \frac{d^2 x}{dt^2} = -a x(t) + f(t)[/tex]
Donc, après transformée de Fourier :
[tex]- m k^2 x(k) = - a x(k) + f(k)[/tex]

[tex]x(k) = \frac{f(k)}{a - m k^2}[/tex]

On note [tex]k_0 = \sqrt{\frac{a}{m}}[/tex]. Pour éviter que le système "explose", on doit avoir [tex]f(k_0) = 0[/tex]. Si ce n'est pas le cas, on va entrer en résonance et l'amplitude du mouvement explosera. Concrètement, la fréquence de résonance est la fréquence naturelle d'oscillation du système. Si on injecte de l'énergie à cette fréquence, le système devient "fou"!!!

Cordialement,
Mathrack

missedz

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Re : Résonance et valeurs propres

Je commence a comprendre , mais il reste que c'est le fait que les valeurs propres sont de la forme m^2 , que le problème et considéré comme un problème de résonance ?

s'il vous plait y a t il une définition mathématique pour le terme résonance ?

Merci.

Groupoid Kid

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Re : Résonance et valeurs propres

Salut à toi missedz,

On peut en effet se forcer à formaliser des définitions mathématiques de résonance, mais comme a prévenu pas_glop ce sera nécessairement très orienté analyse de Fourier : une définition sur la wikiversité. En outre, je pense que c'est une mauvaise idée d'emprunter cette voie, le terme convenable en mathématiques ce n'est pas "résonance" mais "valeur propre du système".

Le mieux est de garder en mémoire que "Régime de résonance = Excitateur avec une pulsation égale à une pulsation propre du système". Ici on te rappelle que les carrés d'entiers sont les valeurs propres de l'opérateur [tex]-\partial_{t}^2[/tex] (enfin je crois, l'analyse n'a jamais été ma spécialité). Mais ton système n'étant pas linéaire, celà n'a aucun sens (abuserai-je ?) de parler de valeur propre pour f. C'est seulement par analogie entre la condition demandée et le cas linéaire qu'il est fait mention de "résonance à l'infini". Évidemment si ce terme est employé, il y a sûrement une raison plus profonde que cette condition, qui est probablement l'un des sujets de l'article.

Bon, après si ça se trouve, j'ai dit n'importe quoi xD

GK, pas doué chronique en analyse xD

Dernière modification par Groupoid Kid (05-06-2013 19:01:04)

MathRack

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Re : Résonance et valeurs propres

Bonjour à tous,

Tout à fait, c'est la dérivée seconde en temps qui amène une pulsation au carré ([tex]-mk^2 \Longleftrightarrow m \partial_t^2[/tex]).

Sur le problème masse-ressort, on peut connecter la pulsation propre à une valeur propre :

[tex]\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \partial_t x \\ \partial_t^2 x \end{array} \right)  = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\frac{a}{m} & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ \partial_t x \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ \frac{f(t)}{m} \end{array} \right)[/tex]

On peut regarder les valeurs propres de la matrice de raideur :

[tex]det \left[ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\frac{a}{m} & 0 \end{array} \right) - \lambda Id \right] = 0[/tex]

Et on trouve [tex]\lambda ^2 +\frac{a}{m} = 0[/tex]... (La valeur propre est imaginaire pure car le système est un oscillateur sans amortissement)

En général on essaie d'éviter les résonances car ça amène des comportements non-linéaires / instables. L'histoire du pont de Tacoma illustre bien les propos de Yoshi : http://fr.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge

Cordialement,
MathRack

Dernière modification par MathRack (06-06-2013 09:15:43)

missedz

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Re : Résonance et valeurs propres

Ok, merci bien.

missedz

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Re : Résonance et valeurs propres

Je reviens sur ce sujet ,
je ne comprend pas très bien le rôle de la valeur propre ?
es que quelqu'un peut m'aider ?
Merci.

Com_El_Vient

Invité

Re : Résonance et valeurs propres

Bonjour,

Dans l'introduction de votre article, la problème linéaire aux valeurs propres correspond aux cas limites où [tex]f(t,x)=\lambda x[/tex]. Dans ce cas, pour avoir une solution périodique, on a la condition [tex]\lambda[/tex] est un entier.

Dans le cadre de l'article, on pourra chercher, par exemple, des solutions de la forme [tex]X(x,t)=X_0 e^{i\left( \omega t + k_1 x t + k_2 x \right)}[/tex]. On aura alors [tex]lim \frac{f(x,t)}{x} = k_1 \omega[/tex].

Difficile d'en dire plus sans l'article, il semble qu'on cherche à généraliser la notion d'oscillateur classique, en imposant à la fonction [tex]f[/tex] d'être entre l'oscillateur [tex]k[/tex] et l'oscillateur [tex]k+1[/tex].

Coridalement,
Com_El_vient, 16,86%