Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bug02

Invité

Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Bonjour,

Je rencontres quelques difficultés avec l'étude des solutions d'une équation non linéaire d'odre 2

[tex]f''(x)+2\alpha f^{ 3 }\left( x \right)=0[/tex]

Soit x une solution satisfaisant : [tex]x(0)=0[/tex] et [tex]\dot { x } (0)=v(0)[/tex]

On me demande de montrer que la solution est bornée et périodique puis d'exprimer sa période.
Pour montrer que la solution est bornée, j'avais pensé à appliquer le Lemme de Gronwall à la fonction : [tex]\dot { x } (t)=x(0)+\int _{ 0 }^{ x }{ \ddot { x } (t)dt } [/tex]
Puis faire de même avec [tex]x(t)[/tex]

Existe-t-il une méthode plus efficace ?
Mais pour montrer que les solutions sont bornés je ne vois pas trop, mis à part poser [tex]h(t)=x(t+\theta )[/tex] avec [tex]\theta[/tex] la période. Et essayer de montrer qu'elle coincide avec ma solution pour une condition initiale donnée.
Ceci étant un exercice de physique j'imagine qu'il y a des manières beaucoup plus simple de procéder ...

bug02

Invité

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Beurk Beurk la notation de mon intégrale, enfin j'espère que vous avez compris le principe, prendre pour t sous l'intégrande une variable muette u et un t à la place du x dans la borne supérieur

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Bonjour,

Peut être qu'il peut être intéressant de regarder le portrait de phase de ton équation, et d'obtenir des informations qualitatives.

Par exemple, tu peux montrer que si f est une solution alors [tex]f'^2+\alpha f^4 = \nu^2[/tex].

Cette égalité permet déjà de voir que la solution est bornée (donc définie pour tous les réels).
Ensuite, elle te dit que la solution reste sur la courbe [tex]Y^2+\alpha X^4 = \nu^2[/tex] dans le plan de phase. Cette courbe étant fermée (lorsque [tex]\alpha>0[/tex]...), tu peux peut-être en déduire que la solution est périodique...

Bon courage,
Roro.

Dernière modification par Roro (24-05-2013 14:12:56)

bug02

Invité

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

C'est une approche intéressante, mais je crois que l'énnoncé attend quelque chose d'autre car on me demande d'exprimer la période en fonction de [tex]\alpha[/tex]
Merci

JeanJ

Invité

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Salut bug02,

J'ai une page qui donne la réponse complète, mais il n'est pas possible de joindre une copie .jpg sur ce forum.
Je peux te l'envoyer si tu m'indiques ton adresse par la messagerie personnelle.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

RE,

mais il n'est pas possible de joindre une copie .jpg sur ce forum.

Qu'est-ce que tu entends par là ?
Si tu veux dire qu'il est impossible de mettre une image sur ce forum, c'est inexact.
Il te suffit de déposer ton image sur un site d'hébergement d'images gratuit ou pas : casimages.com, hiboox, imageshack.us...
et de copier toute la partie du lien donné figurant entre les balises img et /img (avec crochets, balises comprises) et d'insérer ça dans ton message où tu veux...

Si tu veux dire que tu n'as le droit au regard de la loi, c'est autre chose...

@+

JeanJ

Invité

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Salut Modo Ferox,

J'ai dit que je ne pouvais pas mettre le document .JPG sur le forum. Ni plus ni moins. Et c'est vrai.
Bien sûr, je pourrais faire comme tu le suggères et le mettre ailleurs, mais ce n'est pas sur le forum, comme je l'ai dit.
Il me faudrait donc le mettre sur un autre site d'hébergement. Que je ne le fasse pas ne lèse en rien le demandeur d'aide, puisqu'il peut obtenir cette aide grâce à la messagerie personnelle. C'est ce que j'ai proposé car je préfère cette façon de faire.
Bien cordialement,
JJ.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Bonsoir,

Tu as raison si on prend ta formulation "mettre le document .jpg sur je forum"  au pied de la lettre...

Que je ne le fasse pas ne lèse en rien le demandeur d'aide, puisqu'il peut obtenir cette aide grâce à la messagerie personnelle. C'est ce que j'ai proposé car je préfère cette façon de faire.

Là encore, d'un point de vue strict, c'est vrai aussi...
Sauf que ce n'est pas le but du forum, quand bien même tu as d'autres préférences.
Nos  Règles précisent :

* Ce forum est un lieu d'échange.(...)

Nous (pas un pluriel de majesté) prenons échange dans un sens assez large...
Pourquoi a-t-on mis des restrictions sur les suppressions de discussion ?
Parce que, lorsqu'on répond sur ce forum, on ne pense pas seulement à celui qui demande de l'aide, mais à tous ceux qui lisent cette demande et consultent la (ou les) réponse(s) et on ne veut pas revoir les suppressions (manifestations de pur égoïsme) auxquelles on a déjà pu assister, une fois que le demandeur d'aide s'était trouvé satisfait...
Et ils sont plus d'un à consulter cette discussion par exemple, sinon pourquoi cette discussion aurait-elle été déjà vue 207 fois au moment où j'écris ?

Nous (toujours pas de pluriel de majesté) souhaitons au contraire que les réponses, toutes les réponses, puissent être vues par un maximum de personnes...
Quant à donner l'adresse de sa BAL sur le forum, nos Règles disent :

Tout message comportant en clair, un n° de téléphone, une adresse internet ou postale, sera édité et les mentions citées remplacées par XXX, ceci pour garantir le respect de l'intégrité de votre vie privée.

Maintenant, tu fais ce que tu veux.
Et si tu estimais que je te cherche noise et que tu es en désaccord total, pas de souci, nos Règles  précisent ^_^ :

Si un différend vous oppose à un modérateur des forums, nous vous invitons à exposer à l'Administrateur du site votre différend par mél.

Je t'enverrai alors, si nécessaire, l'adresse où joindre Fred...

@+

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Salut,

yoshi a été plus rapide que moi : à question publique, réponse publique. La savoir est universel et n'appartient à personne.

Bienvenue tout de même !

PS : moi, c'est freddy, Fred est l'admin qui cause peu mais n'en pense pas moins.

JeanJ

Invité

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Quelle réaction !
Je ne pensais pas avoir transgressé les règles du forum en procédant ainsi. D’autant plus que je croyais que la messagerie personnelle était là pour cela.
Mais je comprends vos arguments et maintenant, je sais à quoi m’en tenir.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Salut,

Hmmmm...
On s'est peut-être mal compris. Désolé
Sur ce forum,il n'y a pas de système de MP, messagerie personnelle,, et j'ai donc cru que tu souhaitais avoir l'adresse de sa messagerie personnelle privée...
Ce qui ne change rien au souci de "publicité" des réponses que nous avons...

@+

JeanJ

Invité

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Salut Modo Ferox,

En effet, il y a eu un mal-entendu.
Mais je suis étonné lorsque tu dis qu'il n'y a pas de système MP. Je vois, en dessous du pseudo, un icone représentant une enveloppe. En cliquant, on ouvre un lien qui permet d'envoyer un message à la personne correspondante. C'est ce que j'appelais " messagerie privée" du forum.
Bien évidemment,  je ne demandais pas à bug02 de mettre en clair son adresse e-mail sur le forum.
Le plus souvent, les participants au forum masquent leur adresse e-mail et ils ont bien raison.
Mais je viens de m'apercevoir que bug02 n'a pas masqué la sienne : Elle apparait en clair lorsqu'on clique sur son icone e-mail du forum. Je n'avais pas vérifié avant, ce qui aurait évité toute cette discussion. Du coup, je viens de lui envoyer directement le document qui l'aidera donc à répondre à son problème.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Salut JeanJ,

Si tu pouvais également mettre l'image de cette page sur le forum pour ne pas en transgresser l'esprit (ce que tu as quand même fait pour l'instant) et donc afin que tout le monde en profite, ce serait bien...
Je suis même prêt à la récupérer et à tout retaper pour qu'elle soit sur le forum : un pour tous, tous pour un...

Merci d'avance.

@+

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

salut
Moi aussi je suis interessé par la solution du problème, ça serait cool de la rendre accessible à nous tous.
A+

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Bonjour,

  Je plussoie mes camarades. L'esprit est d'apporter de l'aide qui puisse aider éventuellement d'autres personnes.
Je recommande de "mettre l'image sur le forum" ou de donner un lien permanent qui puisse permettre de visualiser l'image.
Au besoin, je peux héberger l'image sur le serveur de bibmath si c'est nécessaire.

A+
Fred.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Ave,

Solution :
Va sur http://www.cjoint.com, dépose ton document,en suivant les instructions, et génère le code qui me permettra de récupérer le document, puis poste-le...

@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

Bonjour,

Voilà, j'ai retranscrit le maximum, mais la partie finale comprenant des courbes, j'ai été obligé de passer par l'hébergement d'une image...
Page 1

[tex]
\frac{d^2x}{dt^2}+2\alpha x^3=0\;\to\;2\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{dt}+4\alpha x^3\frac{dx}{dt}=0[/tex]
Intégration : [tex]\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\alpha x^4=C[/tex]

[tex]\quad  \quad    x(0)\quad =0 \Biggr \}[/tex]
                          [tex]\,\Biggr \} \to v_0^2=C \to \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\alpha x^4 =v_0^2          [/tex]
[tex]\;\left(\frac{dx}{dt}\right)_{t \to 0}=v_0\Biggr \}[/tex]
[tex]\alpha x^4 =v_0^2-\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\leqslant v_0^2[/tex]   ce qui implique que x est borné : [tex]-\frac{\sqrt{v_0}}{\alpha^{1/4}}\leqslant x \leqslant \frac{\sqrt{v_0}}{\alpha^{1/4}}[/tex]

L'amplitude est : [tex]x_m=\frac{\sqrt{v_0}}{\alpha^{1/4}}[/tex] ;  la vitesse[tex] v(t) =\frac{dx}{dt}[/tex]  s'annule à [tex]x_m[/tex]

[tex]v(t) =\frac{dx}{dt}=\pm\sqrt{v_0^2-\alpha x^4}\,\to\, dt=\pm\frac{dx}{\sqrt{v_0^2-\alpha x^4}}[/tex]

[tex]t=t_k\pm\int_{x(t_k)}^x\frac{du}{\sqrt{v_0^2-\alpha u^4}}[/tex] où [tex]t_k[/tex] est le temps de référence.
L'étude des variations de [tex]\gamma(t),\;v(t),\;x(t)[/tex] page suivante montre que l'intégrale affectée du signe reste positive.

La suite de résolution analytique suppose la connaissance des fonctions elliptiques.
On n'en a pas besoin pour calculer la période T.
La demi-période est la durée entre [tex]t(-x_m)[/tex] et [tex]t(x_m)[/tex], et la fonction étant paire  :
[tex]T=4\int_0^{x_m}\frac{du}{\sqrt{v_0^2-\alpha u^4}}=\frac{4}{\alpha^{1/4}\sqrt{v_0}}\int_0^1\,\frac{d\theta}{\sqrt{1-\theta^4}}[/tex]  avec  [tex]u=x_m\theta=\frac{\sqrt{v_0}}{\alpha^{1/4}}\theta[/tex]
[tex]T=\frac{4}{\alpha^{1/4}\sqrt{v_0}}\times \frac{}{4\sqrt{2\pi}}=\frac{\left(\Gamma\left(\frac 1 4\right)\right)^2}{\sqrt{2\pi}\,\alpha^{1/4}\sqrt{v_0}}[/tex]   et  [tex]\Gamma\left(\frac 1 4\right)\approx 3,625609908...[/tex]

Page 2

[tex]\text{Description en fonction de t(temps)}  \begin{cases} x(t)\quad \text{(position)}\\v(t)=\frac{dv}{dt}\quad \text{(vitesse)}\\\gamma(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}\quad \text{(accélération)}\end{cases}[/tex]

Cas [tex]\alpha >0[/tex]
[tex]\text{En partant de t=0 } \begin{cases}x(0)&=0\\v(0)&=v_0>0\end{cases}[/tex]
[tex]\gamma(t)=-2\alpha x^3<0[/tex] donc [tex]v(t)[/tex] est décroissante de [tex]v_0[/tex] à 0 alors que [tex]x(t)[/tex] croît de 0 jusqu'à [tex]x_m[/tex]
[tex]t=+\int_0^x\frac{du}{\sqrt{v_0^2-\alpha u^4}}[/tex]  Le choix du signe devant l'intégrale est imposé : + du fait que [tex]v(t)>0[/tex]

Pour [tex]t=\frac T 4[/tex], on a : [tex]x = x_m=\frac{\sqrt{v_0}}{\alpha^{1/4}}\;;\;v = 0\;;\;\gamma=-2\alpha x_m^3 = -2\alpha^{1/4} v_0^{3/2}<0 [/tex]
Ensuite, avec [tex]\gamma < 0,\, v(t)[/tex] décroît à partir de 0 donc est négatif.
[tex]t=\frac T 4-\int_{x_m}^x \frac{du}{\sqrt{v_0^2-\alpha u^4}}[/tex] (Le signe devant l'intégrale est imposé : - du fait que [tex]v(t)<0[/tex])
[tex]x<x_m[/tex] : l'intégrale proprement dite est négative. Avec le signe - devant, t est croissant, ceci jusqu'à :
[tex]t=\frac T 4-\int_{x_m}^{-x_m} \frac{du}{\sqrt{v_0^2-\alpha u^4}}=\frac T 4-\left(\frac T 2\right)=\frac{3T}{4}[/tex]

Au passage, pour [tex]x = 0[/tex], on a [tex]t = \frac T 2\;;\;x = 0\;;\; v=-v_0\;;\;\gamma = 0[/tex]

Pour [tex]t = \frac{3T}{4}[/tex], on a : [tex]x = -x_m\;;\; v=0\;;\;\gamma = -2\alpha(-x_m)^3=2\alpha^{1/4}v_0^{3/2}>0[/tex]

Ensuite, avec [tex]\gamma > 0,\, v(t)[/tex] croît à partir de 0 donc est positif.
[tex]t=\frac{3T}{4}+\int_{-x_m}^x \frac{du}{\sqrt{v_0^2-\alpha u^4}}=\frac{3T}{4}[/tex] (Le signe devant l'intégrale est imposé : + du fait que [tex]v(t)>0[/tex])
ceci jusqu'à [tex]t=\frac{3T}{4}-\int_{-x_m}^0 \frac{du}{\sqrt{v_0^2-\alpha u^4}}=\frac{3T}{4}+\frac T 4=T[/tex]
En atteignant [tex]x = 0[/tex], on a : [tex]t = T\;;\;v=v_0\;;\;\gamma=-2\alpha x_m^3 = -2\alpha^{1/4} v_0^{3/2}[/tex]

La situation est identique à celle initiale (même[tex] x,\,v,\,\gamma[/tex]) avec t augmenté d'une période[tex] t=T+\int_0^x\frac{du}{\sqrt{v_0^2-\alpha u^4}}[/tex]

Page 3

J'espère ne pas avoir fait de gaffe(s)...

@+

JeanJ

Invité

Re : Equation différentielle d'ordre 2 non linéaire

<<J'espère ne pas avoir fait de gaffe(s)...>>
Moi aussi, j'espère n'en avoir pas fait !
Mais même s'il y a quelques bugs, je pense que les lecteurs pourront rectifier d'eux même.
Merci de ton aide yoshi. 
J'ai une petite suggestion : Ne serait-il pas préférable d'effacer les posts sans intérêt (les aléas de cette pénible transmission de document, qui n'apportent rien du point de vue mathématique - Y compris le présent message) et qui, maintenant, ne font qu'encombrer ?