Forum de mathématiques - Bibm@th.net

LS

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cube

Bonjour pourriez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plaît?
Je crois savoir pour la 1) mais je ne trouve pas pour la 2).

Merci d'avance pour votre aide.

Soit ABCDEFGH un cube d'arête 1.
M est un point de la droite (AF) et N est un point de la droite (BD).
On pose (vecteurs) AM=aAF et BN=bBD.
Déterminer a et b pour que la droite (MN) soit perpendiculaire aux droites (AF) et (BD), en utilisant 2 méthodes:

1)le repère orthonormal (A;AB,AD,AE) et les coordonnées des points de la figure qui interviennent dans les calculs (vecteurs) MN.AF et MN.BD.

2)En décomposant (vecteurs) MN en MA+AB+BN, AF en AB+BF, et BD en BA+AD et en calculant les différents produits scalaires intervenant sans utiliser de coordonnées mais en faisant uniquement fonctionner les propriétés du produit scalaire.

galdinx

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Re : cube

Bonsoir,

2 vecteurs sont orthogonaux si leur prosuit scalaire est nul.
Pour la 1ere méthode essaye de calculer les coordonnées des points dans le repère, (par exemple A(0,0) ), puis calcule les coordonnées des vecteurs et enfin applique la formule du produit sclaire avec coordonées. Tu obtiens ainsi un système d'équation qu'il te reste a résoudre.

Pour la 2eme méthode, meme principe, tu dis que les produits scalaires sont nuls, et tu remplaces par l'expression donnée en énoncé et tu résous finalement le système en a et b :

MN.AF=0 donc (AB+BF).(MA+AB+BN)=0
or MA = -aAF et BN = b BD
donc (AB+BF).(-aAF+AB+bBD)=0... (et pareil avec l'autre équation)

Si tu ne comprends toujours pas, n'hézite pas a revenir en précisant ou tu en es arrivé et ou tu bloques.

Bye

LS

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Re : cube

Bonjour, voilà ce que j'ai trouvé:

1)On a F(1;0;1) d'où AM(vec)(a;0;a) et BD(vec)(-1;1;0),  (vec) BN(-b;b;0) et (vec)AN(1-b;b;0).
MN=MA+AN donc de coordonnées (1-b-a;b;a).
MN perpendiculaire à AF <=>MN.AF=0 <=>1-b-2a=0.
MN perpendiculaire à BD <=>-1+2b+a=0.

On a ensuite le système  1-2b+a=0
                                    1+2b+a=0.
On additionne membre à membre:   1+1-2b+2b+a+a=0  <=> 2+2a=0 =>a=-1.
On remplace a par -1 dans la deuxième équation  :  on a  1+2b+a=0 donc b=0.

2)Là je n'y arrives toujours pas.

Pourriez- vous me dire si la première question est juste et me donner d'autres indices pour la deuxième' s'il vous plaît?
Merci d'avance pour votre aide.

yoshi

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Re : cube

Bonjour,

1ere question : n'y aurait-il pas une faute de signe ?
En effet, avec :
[tex]\vec{AM}(a ; 0 ; a)\; \mbox{on obtient : }\vec{MA}(-a ; 0 ; -a)[/tex]
Comme on a de plus :
[tex]\vec{AN}(1-b ; b ; 0)[/tex]
J'en conclus que :
[tex]\vec{MA}+\vec{AN}=\vec{MN}(1-b-a;b;-a)[/tex]
D'où il vient :
[tex]\vec{MN}.\vec{AF}=1-b-2a=0[/tex]
[tex]\vec{MN}. \vec{BD}=-1+2b+a=0[/tex]
Et la solution du système est a = b = 1/3

Avec ta solution a = 1 alors M = F, puis b=0 alors N = B donc (MN) = (FB) et il est impossible que les droites (AF) et (FB) soient perpendiculaires...

Je regarde la suite...

galdinx

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Re : cube

Bonjour,

Grillé par Yoshi sur la première réponse, j'ai effectivement trouvé la même erreur que lui.

Pour la 2ème méthode, il faut que tu fasses comme je t'ai dit au dessus, a savoir développer les vecteurs comme dans l'énoncé puis développer le produit.

Ensuite tu sais que tous tes vecteurs sont unitaires donc :

u.v = ||u|| . ||v|| . cos (u,v) = 1*1* cos(u,v) = cos(u,v)

De plus tu sais que l'angle formé entre une arrete et la diagonale du carré est de 45° (ou PI/4) (fais attention au signe du à l'ordre des veteurs) donc tous les membres de ton égalité se simplifient et cela te donne a nouveau un système de 2 équations

J'espère avoir été plus clair cette fois ci.

Bye

yoshi

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Re : cube

Re-Bonjour,

2e question.
En utilisant ce qu'a écrit Galdinx, il te faut développer le produit d'une somme de deux termes par une somme de 3 termes. Tu obtiendras donc une somme de 6 produits produits scalaires...
Or :
[tex]\vec V . \vec V' = ||\vec V||\times ||\vec V'||\times cos(\vec V ,\vec V')[/tex]
Le produit scalaire de deux perpendiculaires vaut 0...
Les longueurs valent soit 1, soit la diagonale du carré multipliés selon les cas par -a, a ou b...
Les angles valent 45°...
Et [tex]cos(45°)={\sqrt 2 \over 2}[/tex]
Tu devrais retomber avec les deux produits scalaires sur le système...

Je repasse d'ici 2h...

@+

PS J'espère qu'à mon tour, je n'aurai pas laissé traîner de faute(s)...Je vérifierai à nouveau cela à mon prochain passage...
Sinon d'ici là, quelqu'un m'aura bien montré du doigt... ;-)

[Edit]grillé à mon tour ! ;-)[\Edit]

LS

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Re : cube

Rebonjour

MN.AF=(MA+AB+BN).(AB+BF)=MA.AB+MA.BF+AB²+AB.BF+BN.AB+AN.BF.

J'ai trouvé:
MA.AB=a/2
MA.BF=-a/2
AB²=1
AB.BF=-1
BN.AB=-b/2
BN;BF=b/2
Donc MN.AF=0 <=>MN perpendiculaire à AF.

Et pour MN.BD=(MA+AB+BN).(BA+AD)=MA.BA+MA.AD+AB.BA+AB.AD+BN.BA+BN.AD

J'ai trouvé:
MA.BA=a/2
MA.AD=-a/2
AB.BA=-1
AB.AD=1
BN.BA=b/2
BN.AD=-b/2
Donc MN.BD=0<=> MN perpendiculaire à BD.

Je ne sais pas trop si c'est juste?

galdinx

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Re : cube

Re

Heu l'exercice c'est de calculer a et b, donc ton résultat doit etre les valeurs de a et b et tu as du te tromper quelque part car ce que tu as mis voudrait dire que c'est tout le temps perpendiculaire quelquesoit les valeurs de a et b.

MA.BA=a/2 comment trouves tu ca?

et il y a un pbm tu marques au premier coup que MA.AB=a/2 et au deuxieme MA.BA=a/2 alors que par définition MA.AB = - MA.BA

je sais pas ce que tu as fait la mais c'est faux. Le but est de trouver des valeurs pour a et b (et les memes qu'a la premieres question de préférence)

Essaye de reprendre la méthode qu'on t'a donné avec yoshi.

Bon courage

LS

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Re : cube

Re bonjour,

MN=-aAF+AB+bBD donc MN.AF=-aAF²+AB.AF+bBD.AF.

AB.AF=AB(AB+BF). Sur la figure AB.BF=0.
Il reste AB.AF=AB²
BD.AF=(AD-AB)AF  et sur la figure AD.AF=0 et donc BD.AF=-aAF²+(1-b)AB² or AF²=2 et AB²=1 donc MN.AF=1-2a-b.

Je fais la même chose pour MN.BD est je retrouve l' équation -1+2b+a=0
donc a=b=1/3.

En espérant cette fois-ci ne pas avoir écrit trop de bêtises.

galdinx

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Re : cube

Bonjour,

Voila c'est beaucoup mieux.
Bravo pour ta persévérence.

Bte

LS

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Re : cube

Merci pour votre aide.