Ouvert ou fermé ?

vrouvrou · 14-04-2013 20:15:04

Salut ;
j'ai une petite question
es que tout ensemble [tex]U[/tex] peut être écrit sous la forme de [tex]\bigcup_{n}F_n[/tex] tel que [tex]F_n=\lbrace x\in X , d(x,X-U)\geq \frac1n\rbrace[/tex] ?
et s'il vous plait es que ce [tex]F_n[/tex] est un fermé

Merci

Fred · 14-04-2013 20:30:34

vrouvrou a écrit :

Salut ;
j'ai une petite question
es que tout ensemble [tex]U[/tex] peut être écrit sous la forme de [tex]\bigcup_{n}F_n[/tex] tel que [tex]F_n=\lbrace x\in X , d(x,X-U)\geq \frac1n\rbrace[/tex] ?

Non. Compare par exemple ce que tu obtiens avec U=]0,1[ et U=[0,1]

et s'il vous plait es que ce [tex]F_n[/tex] est un fermé
Merci

Oui.

vrouvrou · 14-04-2013 20:35:22

Donc U doit etre ouvert !
et s'il vous plait comment vérifier que F_n est fermé ?
Merci

Fred · 14-04-2013 21:20:37

Par les suites.

vrouvrou · 14-04-2013 21:53:51

Soit ; [tex]( u_k )[/tex] une suite de [tex]X[/tex] qui converge vers [tex]u[/tex] ,
on doit prouver que si [tex]d(u_k,X-U)\geq \frac1n[/tex] ,alors [tex]d(u,X-U) \geq \frac1n[/tex] alors [tex]u \in F_n[/tex] .
[tex]d(u_k,X-U)=inf_{y\in X-U} d(u_k,y)[/tex].

mais comment arrivé au fait que [tex]d(u,X-U)\geq \frac1n[/tex] ?

S'il te plait ; merci.

Fred · 15-04-2013 09:14:23

Par l'absurde.

vrouvrou · 15-04-2013 14:25:41

On suppose que [tex]d(u,X-U)<\frac1n \Rightarrow d(u,u_k)+d(u_k,X-U)<\frac1n[/tex] contradiction puisque [tex]d(u_k,X-u)\geq \frac1n[/tex]
comme ça

vrouvrou · 15-04-2013 18:37:31

mais c'est faut ! ce que j'ai écrit

Je ne sais pas comment faire

Quelqu'un pour m'aider ?

Dernière modification par yoshi (15-04-2013 19:34:25)

vrouvrou · 15-04-2013 18:53:12

Si je fait ça :
je suppose que[tex] d(u,X-U) \leq \frac1n[/tex] alors [tex]d(u,X-U)+d(u_k,X-U)-d(u_k,X-U)\leq \frac1n \Rightarrow d(u_k,X-U)\leq \frac1n-d(u_k-u,X-U)\leq \frac1n-\varepsilon \leq \frac1n[/tex]

Contradiction

Dernière modification par vrouvrou (15-04-2013 18:53:32)

Yassine · 15-04-2013 19:17:40

Je ne suis pas sûr d'avoir suivi ton dernier développement.
Ma suggestion : prouver que le complément de [tex]F_n[/tex] est ouvert.
[tex]F_n^c=\left\{x \in X | d(x,X-U)<\frac{1}{n}\right\}[/tex]. Soit [tex]x_0 \in F_n^c[/tex] et soit [tex]\epsilon = \frac{1}{n} - d(x_0,X-U)[/tex], je propose de montrer que la boule de centre [tex]x_0[/tex] et de rayon [tex]\epsilon[/tex] est dans [tex]F_n^c[/tex] : soit [tex]y \in B(x_0,\epsilon)[/tex], on a, par inégalité triangulaire [tex]d(y,X-U) \leq d(y,x_0) + d(x_0,X-U) < \epsilon + d(x_0,X-U)=\frac{1}{n}[/tex]. donc [tex]d(y,X-U)<\frac{1}{n}[/tex], donc [tex]y \in F_n^c[/tex]. Donc [tex]B(x_0,\epsilon) \subset F_n^c[/tex], CQFD.

vrouvrou · 15-04-2013 20:45:37

Re;

Merci Yassine ,c'est effectivement très très juste ce que tu as écrit

vrouvrou · 16-04-2013 07:15:17

Re,
s'il vous plait pour le fait que [tex]U=\cup F_n[/tex] , comment voir que [tex]U \subset \cup F_n[/tex]
si [tex]x\in U[/tex] alors [tex]x\notin X-U[/tex] qui est fermé donc [tex]d(x,X-U)>0[/tex] donc il existe [tex]n[/tex] tel que [tex]d(x,X-U)>\frac1n[/tex] d'ou le résultat ?
Merci

Yassine · 16-04-2013 07:52:57

Oui, ça me semble correct.
Je ne sais pas si le fait que "la distance à un fermé d'un point extrieur au fermé est strictment positive" a besoin d'être redémontré ou pas dans ton exo (c'est assez facile comme démonstration).

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Ouvert ou fermé ?

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