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vrouvrou

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Topologie faible

Salut;
j'ai une petite question:
dans un espace de Hilbert de dimension infini séparable ,comment prouver que pour tout [tex]x \in B(0,1)[/tex] ,[tex]||x||\leq 1[/tex] il existe une suite [tex](x_n)[/tex] tel que[tex]||x_n||=1[/tex] et [tex](x_n)[/tex] converge faiblement vers[tex] x[/tex]
S'il vous plait
Merci.

Fred

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Messages : 7 349

Re : Topologie faible

Salut,

  Soit [tex](e_n)[/tex] une base hilbertienne. On sait qu'elle converge faiblement vers 0.
Pour chaque entier [tex]n[/tex], soit [tex]\lambda_n[/tex] tel que, si on pose [tex]x_n=x+\lambda_n e_n[/tex],
alors [tex]\|x_n\|=1[/tex] (un tel [tex]\lambda_n[/tex] existe, il suffit de calculer [tex]\|x+\lambda_n e_n\|^2[/tex]
en développant, et de voir la condition à demander à [tex]\lambda_n[/tex] pour que ceci soit égal à 1).

Et la suite [tex](x_n)[/tex] converge bien faiblement vers [tex]x[/tex].

Fred.