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vrouvrou

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Zeros de solutions d'une equation differentielle

Bonsoir
J'ai cet exercice et je ne sais pas comment faire pour le résoudre.

Montrer que les solutions de [tex]y'' +e^ty=0[/tex] admettent une infinité de zéros dans [tex]\mathbb{R}^+[/tex]
S'il vous plait.
Merci.

Dernière modification par vrouvrou (28-02-2013 12:30:05)

Fred

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Re : Zeros de solutions d'une equation differentielle

Bonjour,

  Je sais résoudre cet exercice en utilisant le "principe d'entrelacement des zéros de Sturm".
Regarde cette page : http://www.bibmath.net/exercices/index. … oi=analyse
l'exercice 13 de la feuille "Equations différentielles linéaires - Théorie et études qualitatives", en particulier
la question 2, avec [tex]p(t)=1[/tex] et [tex]q(t)=e^t[/tex] (ou le contraire!).

F.

vrouvrou

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Re : Zeros de solutions d'une equation differentielle

ce n'est pas exactement ce que je cherche !
si j'essaye de prouver ça par l'absurde
je suppose qu'il existe une solution [tex]y[/tex] qui admet un nombre fini de zéros donc il existe un intervalle [tex][a,\infty[[/tex] tel que y ne change pas de signe sur cet intervalle , supposons que [tex]y(t)>0[/tex] pour tout [tex]t\geq0[/tex]
on a [tex]y(t)''=-e^t y(t) <0 \forall t\geq a[/tex] ce qui veux dire que [tex]y'[/tex] est décroissante sur [tex][a,\infty[[/tex].
mais j'arrive pas a avancer , pouvez vous m'aider ?

Fred

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Re : Zeros de solutions d'une equation differentielle

ce n'est pas exactement ce que je cherche !

Si, c'est exactement ce que tu cherches, car les solutions de [tex]y''+y=0[/tex] s'annulent tous les [tex]\pi[/tex], et l'exercice que je te donne en référence prouve que les solutions de ton équation différentielle vont s'annuler entre [tex]k\pi[/tex] et [tex](k+1)\pi[/tex], donc une infinité de fois.

Après, il y a peut être une méthode plus directe pour y arriver, mais je n'ai pas le temps d'y réfléchir!

F.

vrouvrou

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Re : Zeros de solutions d'une equation differentielle

Merci le bon exercice et est le 12 pas l'exercice 13 .

Dernière modification par yoshi (01-03-2013 23:13:16)

vrouvrou

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Re : Zeros de solutions d'une equation differentielle

Re
s'il vous plais dans le lien que vous m'avez donner ,l'exercice 12 question 2
pourquoi b>a ?
Merci

Fred

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Re : Zeros de solutions d'une equation differentielle

C'est écrit : parce que [tex]a[/tex] est un zéro isolé de l'équation, donc il n'y pas de zéro à proximité de a...

F.

vrouvrou

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Re : Zeros de solutions d'une equation differentielle

encor une petite question s'il vous plait pourquoi[tex] y'(b)\leq0[/tex]

Fred

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Re : Zeros de solutions d'une equation differentielle

Fais un dessin d'une fonction positive entre a et b, et s'annulant en a et en b. Tu comprendras pourquoi la dérivée doit être négative.

F.

vrouvrou

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Re : Zeros de solutions d'une equation differentielle

oui c'est vrai merci beaucoup