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#1 23-02-2013 07:56:19
- vrouvrou
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Exercice
Bonjour;
j'ai ce petit exercice
soit [tex]\Omega[/tex] un ouvert borné de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et[tex] f:\overline{\Omega} \rightarrow \overline{\Omega}[/tex] une fonction continue telle que [tex]f(x)=x, \forall x\in \partial \Omega.[/tex]
Montrer que [tex]f(\overline{\Omega})=\overline{\Omega}[/tex]
qui peux m'aider a le résoudre
s'il vous plait,
Merci.
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#2 25-02-2013 15:41:45
- Roro
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Re : Exercice
Bonjour,
C'est une application (par exemple) de résultats concernant le degré topologique.
Tu peux en trouver une preuve ici : www-gm3.univ-mrs.fr/polys/gm3-06/gm3-06.pdf
Prop 4.1.4, page 31
Roro.
Dernière modification par Roro (25-02-2013 15:42:19)
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#3 25-02-2013 18:38:56
- vrouvrou
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Re : Exercice
Merci;
dans la proposition il démontre que [tex]\Omega \subset f(\Omega)[/tex]
comment peut on déduire que [tex]\overline{\Omega}\subset f(\overline{\Omega})[/tex] ?
s'il vous plait,
Merci
Dernière modification par yoshi (25-02-2013 19:12:40)
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#4 25-02-2013 22:46:11
- Fred
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Re : Exercice
Parce que, dans ton hypothèse, on te dit que tout point de la frontière est atteint puisqu'il est fixe par f!!!
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#5 25-02-2013 22:48:01
- vrouvrou
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Re : Exercice
ok, merci beaucoup
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#6 25-02-2013 22:50:53
- vrouvrou
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Re : Exercice
Et je peux dire ça :
[tex]x_n \in \Omega[/tex] , [tex]\lim x_n=x[/tex] avec [tex]x\in \overline{\Omega}[/tex] , comme [tex]f[/tex] est continue alors [tex]\lim f(x_n)=f(x)[/tex]
comme [tex]x\in \overline{\Omega}[/tex] alors [tex]f(x)\in f (\overline{\Omega})[/tex]
or [tex]f(x)=x[/tex] donc [tex]x \in f(\overline{\Omega})[/tex] !
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#7 26-02-2013 10:32:22
- vrouvrou
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Re : Exercice
c'est juste ?
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#8 26-02-2013 10:46:03
- vrouvrou
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Re : Exercice
j'ai un petit doute car [tex]f(x)=x , x\in \partial\Omega[/tex]
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#9 26-02-2013 13:46:05
- Fred
- Administrateur
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Re : Exercice
Je ne comprends pas pourquoi tu essaies de faire un truc aussi compliqué.
Tu as [tex]\bar\Omega=\Omega\cup\partial \Omega[/tex] et
[tex]\Omega\subset f(\Omega)\subset f(\bar \Omega)[/tex] puis [tex]\partial \Omega=f(\partial \Omega)\subset f(\bar \Omega)[/tex].
F.
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#10 26-02-2013 14:16:59
- vrouvrou
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Re : Exercice
je sais que [tex]\Omega \subset f(\Omega)[/tex] .
et je veux montrer que [tex]\overline{\Omega} \subset f(\overline{\Omega})[/tex]
[tex]\overline{\Omega} = \Omega \cup \partial\Omega[/tex]
donc : [tex]\Omega \subset \overline{\Omega} \Rightarrow f(\Omega)\subset f(\overline{\Omega})[/tex]
et:[tex]\partial\Omega \subset \overline {\Omega} \Rightarrow\partial\Omega= f(\partial\Omega) \subset f(\overline{\Omega})[/tex]
ce qui veut dire que
[tex]\overline{\Omega}=\Omega\cup \partial\Omega \subset f(\overline{\Omega})[/tex]
comme ça c'est bon !
merci.
Dernière modification par vrouvrou (27-02-2013 09:25:03)
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