Forum de mathématiques - Bibm@th.net

zarga

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calcul d'une intégrale

Salut
Soit l'ouvert [tex]\varOmega = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 < x < 1, 0 < y < x^2\}[/tex] et soit l'application $u$ définie sur [tex]\varOmega[/tex] par [tex]u(x,y) = x^{\alpha}[/tex]avec [tex]\alpha \in \mathbb{R}.[/tex]
Comment calculer [tex]\int_{\varOmega} |x^{\alpha}|^2 dx dy?[/tex]
Merci bien!

JJ

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Re : calcul d'une intégrale

(0<x<1 ; 0<y<x² ) est la même chose que ( 0<y<1 ;  y^1/2<x<1 )
Faire une représentation graphique si nécessaire pour comprendre.

Roro

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Re : calcul d'une intégrale

Bonjour zarga,

sans parler de changer le domaine, qu'est ce que tu as essayé de faire ? Parce que si tu écris la chose la plus simple que tu imagines tu dois pouvoir calculer ton intégrale sans difficulté !

Avec le domaine que tu donnes, si une fonction f y est intégrable tu devrais avoir :
[tex]\int_\Omega f(x,y) dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{x^2} f(x,y) dy \right) dx.[/tex]

Roro.

zarga

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Re : calcul d'une intégrale

C'est ok! on trouve [tex] \dfrac{1}{2 \alpha + 3}[/tex].

J'ai deux autres question pour le meme exercice. Trouver les valeurs de [tex]u[/tex] sur la frontière de [tex]\Omega,[/tex]
Sur la frontière [tex]\Gamma_1[/tex]où [tex]y=0[/tex] et [tex]0 < x < 1[/tex] on a [tex]u(x,y) = x^{\alpha}[/tex]
Sur la frontière [tex]\Gamma_2[/tex]où [tex]x=1[/tex] et [tex]0 < y < 1[/tex] on a [tex]u(x,y) = 1[/tex]
Sur la frontière [tex]\Gamma_3[/tex]où [tex]y=x^2[/tex] on a [tex]u(x,y) = x^{\alpha}[/tex]
c'est bien?

maintenant, la question est: trouver la condition sur [tex]\alpha[/tex] pour que la restriction de [tex]u[/tex] soit dans [tex]L^2[/tex] sur la frontière de [tex]\Omega.[/tex]
Ma proposition est: il faut trouver la condition sur [tex]\alpha[/tex] pour que [tex]\displaystyle\int_{\Gamma_i} |u|^2 d\sigma[/tex] soit finie avec [tex]i=1,2,3[/tex]
Ma question: comment calculer [tex]\displaystyle\int_{\Gamma_3} |x^{\alpha}|^2 d \sigma?[/tex] ( la manière de définir [tex]d \sigma[/tex] me pose problème. Merci bien!