Fonction continue

vrouvrou · 10-02-2013 16:44:10

Salut;
s'il vous plait si j'ai une suite [tex]u_n[/tex] qui converge vers[tex] u[/tex] et que j'ai prouver que pour une sous suite [tex]u_{n_k}[/tex] ,[tex]f(u_{n_k})[/tex] converge vers [tex]f(u)[/tex] .
pour dire que [tex]f(u_n)[/tex] converge vers [tex]f(u)[/tex] j'utilise l'unicité de la limite ?
Merci.

Fred · 10-02-2013 17:25:28

Es-tu sur que la limite existe?

vrouvrou · 10-02-2013 18:00:44

j'ai prouver que [tex]f(u_{n_k})[/tex] converge vers [tex]f(u)[/tex] , donc f(u) existe !

Fred · 10-02-2013 18:01:41

Oui, mais es-tu sur que la suite [tex](f(u_n))[/tex] converge????

vrouvrou · 10-02-2013 18:03:16

je ne sais pas ,c'est ce que je veux prouver !

Fred · 10-02-2013 18:11:22

Donc tu ne peux pas faire comme cela : pour utiliser l'unicité de la limite de [tex](f(u_n))[/tex], il faudrait
encore être sûr que la limite converge!

vrouvrou · 10-02-2013 18:12:55

donc si l'image de n'importe quel sous suite converge cela ne veux pas dire que l'image de la suite converge ?

Fred · 10-02-2013 18:14:34

Si c'est n'importe quelle sous-suite, pourquoi ne pas prendre pour sous-suite la suite elle-même?

vrouvrou · 10-02-2013 18:21:18

dans l'exercice:
ils ont prouver que pour toute suite [tex]u_n\rightarrow u[/tex] il existe une sous suite [tex](u_{n_k})_{k}[/tex]tel que [tex]f(u_{n_k})\rightarrow f(u)[/tex]dans[tex] (H^1)'[/tex] , d'ici c'est un exercice élémentaire de prouver que [tex]f(u_n) \rightarrow f(u)[/tex] dans[tex] (H^1)'[/tex]
voila ce qu'ils ont dit

Fred · 10-02-2013 19:07:25

Si [tex]f(u_n)[/tex] ne converge pas vers [tex]f(u)[/tex], alors on peut trouver une sous-suite [tex](u_{n_k})[/tex] et
[tex]\delta>0[/tex] tel que [tex] |f(u_{n_k})-f(u)|\geq \delta[/tex] pour tout k.
Mais la suite [tex](u_{n_k})[/tex] converge vers [tex]u[/tex], et donc on peut extraire
une sous-suite [tex](u_{\phi(n_k)})[/tex] telle que [tex]f(u_{\phi(n_k)})[/tex] converge vers [tex]f(u)[/tex],
ce qui est une contradiction.

vrouvrou · 10-02-2013 23:24:53

merci merci ^_^

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