Supplémentaire topologique

vrouvrou · 08-02-2013 21:43:54

Salut
J'ai un théorème qui dit :
Soit [tex] T\in \mathcal{L} (E,F)[/tex] injectif, on a une équivalence entre (i) et (ii)
(i) [tex]T[/tex] admet un inverse à gauche.
(ii)[tex] Im\, T[/tex] est fermé et admet un supplémentaire topologique.
Pour
[tex] (i)\Rightarrow (ii)[/tex] ; On suppose que [tex]T[/tex] admet un inverse a gauche , donc il existe [tex]S\in \mathcal{L} (F,E)[/tex]
tel que [tex] S \circ F=Id_E[/tex]
on doit prouver que 1) [tex]Im\, T[/tex] est fermé
2) [tex] Im\, T[/tex] admet un supplémentaire topologique
(on dit que un sous espace fermé [tex]G[/tex] de [tex]E[/tex] admet un supplémentaire topologique [tex]L[/tex] si [tex]L[/tex] est fermé et que [tex] G\cap L= \emptyset[/tex] et [tex] G+L=E[/tex])
comment on démontre que [tex]Im\, T[/tex] est fermé ,s'il vous plait ?
Merci.

Fred · 08-02-2013 21:50:03

Re-

Comme presque toujours dans ces cas-là, on prend [tex](y_n)[/tex] une suite de [tex]Im T[/tex] qui converge vers un certain [tex]y[/tex],
et on doit prouver que [tex]y\in Im T[/tex]. On peut écrire [tex]y_n=Tx_n[/tex], soit encore [tex] Sy_n=STx_n=x_n[/tex]. Ainsi, la suite
[tex](x_n)[/tex] converge vers un certain [tex]x[/tex], et que vaut [tex]Tx[/tex]?

F.

vrouvrou · 08-02-2013 21:59:21

Tx = y !

vrouvrou · 08-02-2013 22:39:14

Tx=y parce que Test continue , et [tex]Tx \in Im\, T[/tex]
c'est bien ça ?

Fred · 09-02-2013 12:27:17

Oui.

vrouvrou · 09-02-2013 12:38:01

merci, et s'il vous plait comment prouver que le supplémentaire est Ker S

vrouvrou · 09-02-2013 20:53:33

Re, s'il vous plait
si [tex]f\in Im\, T et f\in Ker\,S[/tex] , on a que Sf=0 et qu'il existe un [tex]x \in E[/tex] tel que [tex]f=Tx[/tex] ,donc[tex] 0=Sf=x[/tex]c'est bien ça ?
comment déduire qu[tex] f=0[/tex] s'il vous plait ?

Fred · 09-02-2013 21:11:05

Si [tex]x=0[/tex] et que [tex]T[/tex] est linéaire....!

vrouvrou · 09-02-2013 21:23:48

Ah don Tx=0 donc f=0 !
merci

vrouvrou · 09-02-2013 21:25:38

pour ii implique i vous avez une idée s'il vous plait

Fred · 09-02-2013 21:31:25

J'écrirais [tex]F=Im T\oplus G[/tex] et je définirai séparément [tex]S[/tex] sur [tex]Im T[/tex]
(la valeur est imposée pour que S soit un inverse à droite de T), et sur [tex]G[/tex], par exemple en disant
qu'elle doit y être identiquement nulle.

F.

vrouvrou · 09-02-2013 21:44:56

Sur Brezis il est écrit :
Soit [tex]P[/tex] un projecteur continu de[tex] F[/tex] dans [tex]Im T[/tex], soit [tex]f\in F[/tex] comme [tex]Pf \in Im T[/tex] il existe [tex]x \in E[/tex] unique tel que[tex] Pf=Tx[/tex].
On définit [tex]Sf=x[/tex]
il est claire que[tex] S\circ T=Id_E[/tex] et que S est continue (la continuité est donné par un corolaire )
mais je n'est pas bien compris cette démonstration .

Dernière modification par vrouvrou (09-02-2013 21:45:12)

Fred · 09-02-2013 22:24:15

C'est, avec une autre terminologie, la démonstration que je voulais te faire faire.
Qu'est-ce que tu ne comprends pas?

vrouvrou · 10-02-2013 07:37:33

ce que je ne comprend pas c'est comment choisir la valeurs , et trouvé l'inverse
pour celle de Brezis je ne comprend pas pourquoi [tex]S\circ T =Id_E[/tex] , [tex]S \circ T(x) =S(Pf)[/tex] pourquoi c'est égale a [tex]Sf =x[/tex] ?
s'il vous plait
merci.

Dernière modification par vrouvrou (10-02-2013 07:38:07)

Fred · 10-02-2013 07:44:09

C'est parce que [tex]SPf=Sf[/tex].

Pose [tex]g=Pf[/tex], alors [tex]Pg=P^2f=Pf[/tex] (projection) et donc l'unique [tex]x[/tex] tel que [tex]Pf=Tx[/tex]
vérifie aussi [tex]Pg=Tx[/tex], et donc [tex]Sg=Sf=x[/tex].

vrouvrou · 10-02-2013 07:46:33

ok, merci beaucoup et très bonne journée a vous

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