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vrouvrou

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Densité

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour répondre a cette question.
Soit [tex]E=H^1(]0,1[)[/tex], muni du produit scalaire [tex] (u,v)=\int_0^1 (uv+u'v') dx[/tex] ,[tex]F=\lbrace u\in \mathcal{C}^2([0,1]) \rbrace[/tex] .
montrer que [tex]\overline{F}=E[/tex].
j'ai trouvé sur brésis un conséquence d'un corollaire qui dit :
"soit F un sous espace vectoriel de E , E est un espace de Banach
si toute forme linéaire continue qui s’annule sur F est nécessairement nulle alors : F est dense dans E"
mais j'ai pas su l'appliquer ici
merci pour votre aide

Dernière modification par vrouvrou (02-02-2013 22:33:40)

Fred

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Re : Densité

Salut,

  Il y a peut-être plus simple, mais je procèderai par régularisation.
Si [tex]u\in H^1[/tex] et [tex](\rho_n)[/tex] est une suite régularisante, alors [tex]\rho_n\star u[/tex] est dans [tex]C^2[/tex]
et converge (j'imagine....) vers [tex]u[/tex] dans [tex]H^1[/tex].

F.

vrouvrou

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Re : Densité

Re, vous avez utilisé le produit de convulation !
j'ai pas très bien compris mais le professeur nous a demandé d'utilisé le corolaire
s'il vous plait
merci.

Fred

Administrateur

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Re : Densité

Re-

  Je viens de vérifier, la méthode en utilisant le produit de convolution est bien la méthode traditionnelle pour démontrer ce genre de propriétés : cf par exemple http://infoscience.epfl.ch/record/16244 … chelor.pdf (page 20 du poly, [tex]H^1=W^{1,2} [/tex] avec les notations du poly.

  En utilisant ce corollaire, je ne sais pas.

F.

vrouvrou

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Re : Densité

ok, merci ^_^