Forum de mathématiques - Bibm@th.net

cléopatre

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Fermat, entiers consécutifs

Bonjour à tous les matheux et particulièrement aux modérateur,
Je bloque sur un petit problème simpas que je veux faire pour le plaisir et je pense qu'il va vous plaire aussi:

Trouver les trois plus petits entiers naturels consécutifs respectivement divisibles par 7, 9 et 11

galdinx

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Bonjour,

Heureusement qu'il n'y a pas que les modérateurs qui répondent, cette question s'adresse a tous les membres qui aiment les maths et souhaitent y répondre.
Les modérateurs ne sont la que pour éviter les dérives et gérer les problemes ; apres nous essayons de répondre aux questions mais en tant que membre et non moderateur...

Pour info il s'agit des nombres 350 351 et 352 (algorythme maple ou C ou maple)

Bye

cléopatre

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Oui bien entendu mais comme le plus souvent c'est l'un des trois modératzeur qui me répond ...
Merci pour la réponse mais il n'y a pas une méthode avec fermat?

yoshi

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Bonjour,

Puisque Galdinx a osé, je vais oser dire aussi que j'ai trouvé ça depuis un moment : programmation via TurboBasic (c'est tout ce que j'ai de prêt sous la main)... Les suivants sont distants de 693 en 693...
Mais je cherche, à la main, les nombres de la forme 7k, 7n+1 et 7n'+2 où (7n+1) Modulo 9 =0 et (7n'+2)Mod 11 = 0...
Et plus précisément, je cherche tous les nombres de la forme 36 +63k et 44+77k' qui diffèrent de 1...
on aura forcément k'<k
J'en arrive à  77k' - 63k = -7 ou encore 7(9k - 11 k')= 7 , soit 9k - 11k' = 1 ou 9k = 11k'+1
Je cherche donc un multiple de 9 qui soit aussi un (multiple de 11) + 1 -et le premier d'entre eux, ce qui me simplifie -un peu- la tâche (maintenant, il y a un peut-être un théorème que je ne connais pas, ou qui est enfoui dans les tréfonds de ma mémoire...)
On tombe facilement alors sur 45 = 44 + 1 d'où k = 5 et k' = 4. Vérification :
351 = 36 + 63 x 5
352 = 44 + 77 x 4
Mais, c'est quand même une méthode un peu "Dédé la bricole".
Pas d'autre  réponse plus satisfaisante pour l'instant...
Et hélas, autre chose m'attend, je reprendrai d'ici 2h...

Bah, d'ici là quelqu'un sera bien passé par là (John ?) et va nous souffler la bonne méthode !

@+

Fred

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Salut,

  La résolution de 9k-11k'=1 est en fait un cas particulier de
résolution des équations de Bezout. On la résoud en utilisant l'algorithme d'Euclide:
11=9x1+2
9=4x2+1
Puis on remonte les calculs :
1=9-4x2
1=9-4x(11-9*1)
1=-4*11+5*9
Ce qui donne bien la solution k=5, k'=4.

A+
Fred.

yoshi

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Re : Fermat, entiers consécutifs

'Soir Fred,

Voilà une solution qu'elle est bonne... Ce bon vieux Bezout que je n'ai pas fréquenté durant ma jeunesse... Je l'ai entrevu par moi-même plus tard. Donc forcément, je n'ai pas le réflexe...

M'enfin, je suis content de voir que j'avais bien subodoré la réponse...

Merci !

@+

PS : quid de Fermat qui représentait une des préoccupations de Cléopâtre ?

cléopatre

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Merci à vous c'est vraiment simpas, par contre yoshi je n'est pas compris ton PS:..

yoshi

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Bonsoir,

Le sujet de ton mail était "Fermat, entiers consécutifs", donc j'imaginais qu'une solution allait venir en rapport avec Fermat...
Or, j'ai envoyé le sujet ,par le truchement de Fred, sur la piste de Bezout..
J'ai donc simplement voulu rappeler à tous que tu avais parlé de Fermat et je demandais de ses nouvelles (en dehors du fait qu'il n'est plus de ce monde, bien sûr)... D'où la question :  Quid de Fermat ?

J'en profite pour dire que je sius parti de 36 et 44 qui sont respectivement les premiers multiples de 9 et de 11 pour lesquels en soustrayant respectivement 1 et 2, on obtenait des multiples de 7... Mais tu avais sûrement compris.
Je signale aussi que je ne vois toujours aucun autre moyen de démarrer... Si par hasard tu en trouvais un autre, reviens nous en faire part.

Voilà

@+

john

Invité

Re : Fermat, entiers consécutifs

Hello tous,
Cet autre depart yoshi, c`est dans la cuisine asiatique que tu vas le trouver... car cette fois, ``pour rester dans l`esprit du probleme``, c`est aux restes chinois qu`il faut s`interesser...
A+

john

Invité

Re : Fermat, entiers consécutifs

Pas de yoshi pour cette application du théorème des restes chinois ?

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … inois.html

Alors je me lance avec les notations du lien BM ci-dessus.

n = 0[7] ;
n+1 = 0[9] ;
n+2 = 0[11].

Les restes chinois pour n = 0[7] ; n = 8[9] ; n = 9[11] sont les a_i :
0 ; 8 ; 9.
Le théorème nous garantit l'existence d'une solution n modulo 693 = 7.9.11
On calcule les M_i :
99 ; 77 ; 63
puis les y_i associés :
1 ; 2 ; -4
et les produits a_i.M_i.y_i :
0 ; 1232 ; -2268
La somme des produits est -1036 [693] à laquelle on ajoute 2 fois 693 pour obtenir le plus petit entier n positif soit 350.
Finalement, une bonne recette de cuisine, ça évite de se prendre la tête non ?
Bye

yoshi

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Salut John,

Là j'avoue,... Je n'avais jamais entendu parler de restes chinois... Je vais voir -je veux savoir si je suis le seul inculte de l'équipe) qui parmi mes collègues (et notre agrégé en particulier) en a entendu parler....
Moi en tout cas, pas...
J'ai cru que tu me chinais (ah ! ah !) pour des fautes de frappe (corrigées depuis) rendant certaines fois mon texte un peu... bizarre !
C'est te dire !

Bon, je vais aller voir ça de plus près... Mais pas ce soir, j'ai la tête comme un camion, et j'ai bien eu peur de répondre des sottises ce soir à maya_2...

C'est toujours un plaisir de découvrir, grâce à toi, de nouveaux horizons.

Il paraît même que certains sont arrivés à pied par la chine...   ;-)

Donc, pourquoi s'étonner ?

@+

john

Invité

Re : Fermat, entiers consécutifs

Arg ! yoshi, je croyais que tu avais tout lu sur ce site et que le seul petit indice des restes (de cuisine !) chinois aurait suffit à te mettre sur la voie.
Dans ce cas, un petit complément d'info. pour t'éviter de perdre du temps à l'inversion des nombres (qui n'est autre que l'application du théorème de Bezout), il faut aller à :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … clide.html
et utiliser l'applet en bas de page.
Quant au pb. de maya_2, tu t'en tires plutôt bien... car c'est connu, les jeunes filles préfèrent les maths dans leur chambre et par internet. ce n'est pas facile, une réponse peut tjs être mal interprétée.
Bye

cléopatre

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Merci à tous, si vous pouvez juste m'expliquer comment calculer y_i avec le théorème chinois
parce que j'ai pas vraiment compris : l'inverse de 99 c'est 1?
Voilà merci encore à tous pour votre volonté et votre amor des maths.

john

Invité

Re : Fermat, entiers consécutifs

Hi !
''j'ai pas vraiment compris : l'inverse de 99 c'est 1?''
-----------------------------------------------------------
Oui, l'inverse de 99 c'est 1 MODULO 7.
L'inverse est une simple interprétation du théorème de Bezout.

Par exemple :
99 et 7 sont premiers entre eux et on peut écrire en arithmétique classique :
99.u + 7.v = 1 (Th. Bezout)
En passant en arithmétique modulo 7, cette relation s'écrit :
99.u = 1[7] (simplement en virant 7.v).
Donc, tel qu'en arithmétique classique, u apparaît comme l'inverse de 99.

Je me suis servi de l'applet du calcul des u et v de Bezout mais en fait, le calcul d'inverse est plus simple puisqu'on ne calcule qu'un seul des coefficients u et v.

Exemples
Résoudre 99.u = 1[7]
Comme 99 = 1[7] nécessairement u = 1[7] (le produit 1[7]*1[7] donne bien 1[7]... super !).
Résoudre 77.u = 1[9]
Comme 77 = 5[9] => u = 2[9].
Résoudre 63.u = 1[11]
Comme 63 = 8[11] => u = 7[11]
Simple non ? Il suffit de connaître les tables de multiplication.
A+ si Pb

yoshi

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Salut,

Intéressant... Je vais approfondir le truc...
Bon, et bien voilà les résultats du sondage promis :
Les p'tits jeunes (< 35 ans) connaissent le "théorème des restes chinois"...
Les anciens ont ouvert des yeux ronds...
(Pas de quadras dans mon bahut)
Donc connaissance ou pas connaissance, c'est un problème de génération...

Ca ne me console pas vraiment...

M'enfin, on n'y peut rien...

@+

galdinx

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Bonsoir,

Personnellement je le connaissais sous sa forme générale que personne ne comprend :

Z/nZ * Z/pZ est isomorphe a Z/npZ

C'est interessant de voir une application dans un cas simple de ce genre...

Bye

yoshi

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Bonsoir Galdinx,

Z/nZ * Z/pZ est isomorphe a Z/npZ

"amusant" comme formulation et tellement vrai ^_^...

Encore un djeun'

@+

cléopatre

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Re : Fermat, entiers consécutifs

Merci la je crois que j'ai tous compris vos explications, sur le théorème chinois. C'est vraiment qu'il est vraiment interressant... Merci encore et à tout de suite ...