Forum de mathématiques - Bibm@th.net

zarga

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exercice

Bonjour

On considère le problème de Cauchy [tex] y' = x + e^{-x} + e^{-y^2} , y(x_0) = y_0[/tex] sur [tex] R = \{(x,y); 0 \leq x \leq 1 , |y| \leq 1\}[/tex]
on a prouvé que ce problème admet une solution unique sur l'intervalle [tex]\left[0\;;\;\frac{1}{3}\right].[/tex]
Comment voir si on peut prolonger la solution sur un intervalle plus grand?

Merci.

Dernière modification par yoshi (23-01-2013 15:09:09)

Grizzly

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Re : exercice

Bonjour.
La fonction fi de R ² dans R définie par fi(x,y) = x+exp(−x)+ exp(−y^2)  est partout continue et il en va de même pour sa dérivée partielle par raport à y . Donc le "Théorème de CAUCHY-LIPSCHITZ" peut lui être appliqué qui démontre que le problème différentiel
y'=fi(x,y) et y(1/3)= y1 ( où y1 est la valeur prise en 1/3 par la solution déjà connue) admet une unique solution maximale Y dont l'intervalle de définition J est ouvert. Ici  on est assuré que t+2>Y'(t) > t >1/3 sur ]1/3 ,Sup(J)[  et en intégrant ceci sur [1/3,x] puis en raisonnant par l'absurde vous en déduirez que Sup(J)=+oo. En conséquence on peut prolonger la solution déjà trouvée si et seulement si y1<1 .
Qu'en pensez-vous?
P.S. Je suis tout nouveau sur ce forum et ne sais pas encore éditer des "équations". Tant que possible je me débrouille sans!

yoshi

Modo Ferox

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Re : exercice

RE,

Bienvenue à bord...

P.S. Je suis tout nouveau sur ce forum et ne sais pas encore éditer des "équations". Tant que possible je me débrouille sans!

Tss ! Tsss ! Bin, ce n'est pas une bonne idée...
Tu pouvais quand même faire mieux via la barre d'outils des messages qui t'offre exposant et indice, c'est déjà ça...
Mais ce n'est pas une bonne idée, je le répète : une formule mathématique non écrite dans les règles de l'art devient vite pénible à lire... pour tout le monde !

Pour écrire en Latex, 2 solutions :
1. Ne nécessitant aucun pré-requis si ce n'est un peu de phosphore pour le cerveau et d'huile pour les articulations des phalanges. Tu vas lire cette page : Code LaTex :
2. L'éditeur d'équations de Fred. Pré-requis : il faut avoir l'environnement Java installé sur ta machine. Sinon le fonctionnement Clavier/Souris est intuitif, tu le constateras aisément si tu vas voir (similaire à celui de Word ou d'OpenOffice)...
Pour les récalcitrants, un petit (70 kop) tuto en pdf est dispo depuis l'Editeur de formules pour en comprendre le principe.

Allez, un peu de "courage" : il n'y a que le 1er cas qui coûte...

     Yoshi
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zarga

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Re : exercice

quelqu'un a une piste?

Roro

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Re : exercice

Bonjour,

La réponse de Grizzly ne te convient pas ?
Si tu as vraiment montré l'existence d'une solution sur [tex][0,1/3][/tex] alors effectivement le théorème de Cauchy-Lipschitz te permet de la prolonger au moins un peu en dehors... mais peut être pas jusqu'à l'infini !

Roro.

zarga

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Re : exercice

Bonjour,

oui j'ai bien prouver l'existence d'une solution unique, et si la solution peut etre prolonger, ca sera seulement jusqu'à l'intervalle [0 ; 1]. Je n'ai pas compris la réponse de  Grizzly . Si quelqu'un veut bien déchiffré.

Merci.

Dernière modification par yoshi (24-01-2013 13:44:30)