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yoshi

Modo Ferox

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Cordonnées : comment rester dans l'esprit d'un problème...

Salut à tous,

Voici un problème qui m'a été soumis par un collègue lequel le tenait d'une ancienne élève... On ne sait pas à quel niveau est la demoiselle...
Enoncé :

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O,I,J), on donne les points M (3 ; -3) et P(6 ; 0). On appelle lP 'intersection de la bissectrice de l'angle MOP et du segment [MP]
1. Calculer les coordonnïées polaires de N
2. On rappelle que OMN étant rectangle en M, on a :
[tex]Sin(\vec{ON},\vec{OM}) = \frac {MN}{ON} \;\text {et} Cos(\vec{ON},\vec{OM}) = \frac {OM}{ON}[/tex]
(étonnant non, vu le niveau de l'exercice...  ? mais passons.)
Déduire de la question précédente les valeurs exactes de
[tex]sin {\pi \over 8} \; \mbox {et} cos \frac {\pi \over 8}[/tex]
3. En Déduire finalement les coordonnées rectangulaires de N...

En lui même, le problème est -apparemment- d'un classicisme achevé... MAIs, il y a un mais...
En effet les coordonnées polaires de N sont :
[tex]N(ON,-{\pi \over 8)[/tex]
Le bas blesse dans le calcul de ON sans connaître les coordonnées rectangulaires de N puisque demandées en 3)...
J'ai proposé à mon collègue de partir de la relation liée à la bissectrice :
[tex]{{NP} \over {NM}} = {{OP} \over {OM}}[/tex]
Comme on a MP² = MO² = 18, il est facile d'en déduire MN puis après ON avec le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OMN...

Mais il m'a objecté -à juste titre- que N étant équidistant des côtés de l'angle, calculer MN revient à calculer la distance de N à l'axe des abscisses, donc implicitement l'ordonnée de N qu'il faut justement déduire dans le 3e...
Donc, on n'est pas dans "l'esprit du problème", et j'en suis arrivé là à l'objet de ce message...
Mon collègue a aussi essayé d'autres pistes mais abandonnées pour la même "non conformité avec l'esprit du problème"...

Je viens de plus d'explorer la piste du produit scalaire :
[tex]\vec {OM}\cdot \vec{OP} = 18[/tex]
J'ai décomposé ensuite les deux vecteurs en passant par N ce qui avait l'intérêt de faire apparaître ON², mais je me retrouve avec la somme :
[tex]\vec {ON}\cdot \vec{NM}+\vec {ON}\cdot \vec{NP}[/tex]
que je n'arrive pas à calculer...
Je me suis arrêté là, pensant de plus la méthode bien tordue (surtout compte tenu du rappel fait en début de 2e question...)

Ma question est donc des plus "simples" : comment calculer ON sans utiliser explicitement ou implicitement les coordonnées rectangulaires de N, puisqu'elles sont demandées au 3e comme déduction de ce qui précède ???

Un grand merci à qui aura l'idée...
A vous lire...

john

Invité

Re : Cordonnées : comment rester dans l'esprit d'un problème...

Hello yoshi,
"J'ai proposé à mon collègue de partir de la relation liée à la bissectrice..."
c'était vraiment un bon départ.
NP/NM = 6/3/V2 = V2 nous rappelle que N est le barycentre de P(1) et M(V2).
On écrit la relation vectorielle à partir de l'origine O :
(1+V2).ON = 1.OP + V2.OM
On élève au carré scalaire et on prend la racine :
ON = 6.V(2-V2).
J'ai une autre démo. dans laquelle on fait intervenir le rayon du cercle inscrit et son centre (point d'intersection des bissectrices).
Le rayon se calcule facilement avec l'aire du triangle. Ensuite, Pythagore + un rapport d'homothétie => ON. Mais c'est plus long et on est en limite de l"'esprit du problème" (chaque fois qu'intervient Pythagore).
A+

yoshi

Modo Ferox

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Re : Cordonnées : comment rester dans l'esprit d'un problème...

Merci M'sieur,

Je salue bien bas ta performance...
Je me sens donc un peu frustré de m'être arrêté à l'objection (valable) de mon collègue : on ne doit faire confiance qu'à son propre flair...
Je viens de transmettre ta réponse : j'attends sa réaction...

"Ma piste", que tu as magnifiquement (n'ayons pas peur des mots !) exploitée, appelle plusieurs remarques et/ou commentaires.
1. Ca me laisse rêveur compte-tenu du rappel de la 2e question : là il y a quelque chose qui m'échappe de la part de celui qui a conçu et donné l'exercice...
2. D'autant plus que parmi mes collègues (tous plus jeunes :-(  ) aucun ne connaissait cette relation. J'ai même dû en faire la démonstration à celui qui m'a soumis cet exercice...
3. Je n'ai pas souvenir d'avoir un jour étudié cette relation... Je l'ai découverte en guise d'exercice dans un bouquin un jour (il y a quelques années) que je cherchais des applications originales (et un peu "tordues" comme d'hab) sur le théorème de Thalès...
4. En conséquence de quoi (même si je suis pas petite souris dans la classe de l'élève en détresse pour savoir ce qui s'y passe, et ce qu'ils ont pu étudier) je me demande bien combien auront trouvé la solution.

Encore bravo !

@ +