Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

(Remonté de la cave) Romeo et Juliette

Bonjour,

Déjà soumis par le passé, mais comme il y a plein de petits nouveaux, ça les amusera aussi.

Le schéma n'est pas à l'échelle.
Le pont le plus proche  sur ce canal se trouve à des kilomètres de là... Insupportable...
Roméo se trouve à 400 m du bord du canal et Juliette 300 m. La verticales passant par R et S sont séparées de 150 m.
Version amour fou.
Romeo décide de construire une passerelle [AB] perpendiculairement aux rives parallèles du canal de telle façon que le trajet R-A-B-J soit le plus court possible.
Où Construire ?

Version goujat (certains diront "égalité des sexes")
Romeo ne veut pas avoir plus de chemin à parcourir pour rejoindre J que l'inverse.
Où placer la passerelle pour que RA = JB ?

@+

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

salut

▼une idée

  principe de Fermat!

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

Salut amatheur,

Je ne vois pas de quoi tu parles : désolé de mon ignorance...
J'attends une construction géométrique avec règle + compas + justification et 1 réponse par cas...

@+

jdec

Invité

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

Bonjour,

▼ Amour fou

Soit J1 20 m sous J à la verticale
joindre J1 à R et prendre l'intersection A de J1R avec le bord inférieur du canal
Construire la passerelle [AB] au point A

▼ Goujat

Vraiment goujat : le point A doit être 158,33... m à gauche de la verticale de R, donc B être 300,33... m à gauche de la verticale de J

jpp

Membre

Inscription : 31-12-2010

Messages : 1 170

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

salut.

▼méthode

Tout d'abord on sait que la passerelle reste perpendiculaire à la direction du cours d'eau. et sa largeur réduite à son axe.

_ question 1 :

par hypothèse j'appellerai  H   la projection du point R sur le bord de l'eau  et K celle de J sur la berge mais du coté de J .

Le chemin le plus court hors de la passerelle est donc l'hypothénus d'un triangle rectangle de cotés 150m et 700m

[tex]h = \sqrt{150^2 +700^2}=715.891m[/tex]   . du coté de chez roméo on peut construire un triangle homothétique au précédent , dans un rapport d'homothétie de [tex]\frac47[/tex]  puisqu'il se trouve à 400m de la berge. ainsi la passerelle peut être installée à une distance du point H de 
         [tex] 150 \times{\frac47} = 85.714m[/tex]  et la distance à parcourir pour aller de l'un chez l'autre est de 715.891 + 20 = 735.891m

_ question 2:

    les distances à parcourir pour chacun des tourtereaux pour se rendre en bout de passerelle est la même . parité oblige.

et la on construit 2 rectangles rectangles ayant seulement la même hypothénus

soit x cette hypothénus. je pose b la distance de la passerelle au point K

on obtient les 2 égalités suivantes en appliquant pythagore :  [tex]x^2 = 300^2 + b^2[/tex]

                                                                                puis aussi :  [tex]x^2 = 400^2 + (150-b)^2  [/tex]

on retranche membre à membre les 2 égalités et [tex]b = \frac{400^2 - 300^2 + 150^2}{300} \approx 308.333m[/tex] du point K

et donc à 308.333m - 150m = 158.33m à gauche du point H  . Et chacun de vra parcourir 430.19m + 10m =440.19m pour se rencontrer.

 
Je vais ajouter un dessin
                                                                                     à plus

.

Dernière modification par jpp (11-01-2013 19:46:22)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

RE,

@jdec
Amour fou : niet ! localisation géographique oui.
Goujat : Pourquoi cette valeur ? Je n'ai pas fait les calculs, je vais donc y être obligé.
            Bon voilà, sauf erreur de calcul, la réponse est non, mais oui pour la localisation géographique

J'attendais un dessin avec traits de construction apparents (ça évite de grands discours) et quand même la justification du tracé...

@jpp
localisations géographiques, oui : c'est normal.
Pour le reste, non !
Grâce à ton dessin, je vois qu'il te manque quelque chose d'essentiel, mais t'en es pas loin...

@+

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

salut

▼Texte caché

 
soit R' et J' les projection de R et J (respectivement) sur les bords les plus proches du canal.
on pose  [tex]R'A=x\,et\,BJ'=150-x[/tex]. [tex]x[/tex] étant l’abscisse du point A ( sens positif vers J')
le trajet total :  [tex]T\left(x\right)=RA+AB+BJ=\sqrt{40{0}^{2}+{x}^{2}}+\sqrt{{\left(150-x\right)}^{2}+30{0}^{2}}+20[/tex]
[tex]\frac{dT\left(x\right)}{dx}=2x{\left(40{0}^{2}+{x}^{2}\right)}^{-\frac{1}{2}}-2\left(150-x\right)\left({\left(150-x\right)}^{2}+30{0}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}[/tex]
cette dérivé s'annule au point minimum de T(x) à  [tex]x=\frac{600}{7}[/tex] 

pour la question 2:
pour que RA=JB  [tex]\Rightarrow \sqrt{{x}^{2}+40{0}^{2}}=\sqrt{{\left(150-x\right)}^{2}+30{0}^{2}}[/tex]
alors  [tex]x=-\frac{475}{3}[/tex]

pour les constructions je devrais encore me gratter les méninges!
a+

Dernière modification par amatheur (11-01-2013 23:17:18)

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

re

▼construction

 
pour la construction je procède ainsi:
on a déjà les distance 20m , 150m , 300m et 400m de là on peut contruire facilement avec un compas des distances de 50m, 100m, 250m
1- on contruit facilement les point C et D sur [JJ'] tel que : JC=20m et JD=120m
soit E l'intersection de la droite (JJ') avec la vertical passant par R
on porte sur [RE] LE point F tq FE=100m .
la droite parallèle à (EC) passant par D coupe (RE) en G, par Thalès on a facilement  [tex]GE=x=\frac{600}{7}[/tex]

2- on construit le point H sur la demi droite [CH) tq JH=250m
la parallèle à (DF) passant par H coupe (RE) en I, par Thalès une fois de plus  [tex]IE=\frac{475}{3}[/tex]

a+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

Re,

Un schéma, c'est bien plus parlant.
Si les schémas sont justes, les calculs le seront aussi.
En l'occurrence, et sous réserve que, moi, je fasse un dessin pour voir tes constructions, amatheur, la réponse est non dans les 2 cas.
Vous êtes tous bien trop compliqués.

▼Pour amatheur

Tu as construit J' comme projeté (orthogonal ? Pas précisé !) de J sur la droite représentant la rive la plus proche du canal. Appelons [tex](\Delta)[/tex] et (D) la droite matérialisant l'autre rive.
Tu as [tex] (JJ') \perp (Delta)[/tex] et tu dis : "soit E l'intersection de la droite (JJ') avec la vertical passant par R"
La verticale passant par R avec tes notations est (RR')
[tex](D) // (\Delta)[/tex]
[tex](RR') \perp (D)[/tex]
[tex](JJ') \perp (\Delta)[/tex]
J'en conclus que (RR') // (JJ')...
Où est donc E ?
Ton problème, c'est la gestion du canal...

Je confesse que mes dimensions sont farfelues, les valeurs données ne  sont là que pour s'assurer à l'échelle voulue que les tracés ne sortent pas de la feuille et que tout le monde ait le même dessin (on peut se passer de chiffres si on copie ce dessin et qu'on travaille dessus), c'est pourquoi je n'ai pas demandé de calculs juste des constructions...
Les calculs, si vous y tenez, sont une suite du dessin pas l'inverse !

J'attends avec intérêt la participation de totomm : notre "Pic de la Mirandole" va-t-il être arrêté ? Cela ne s'est jamais produit jusqu'à maintenant...

@+

PS
Ces "exercices" appartenaient aux programmes en cours en 1992/93 ...
Certains d'entre vous étaient encore en culottes courtes :-D

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

Bonjour,

@yoshi : Pourquoi me solliciter pour un problème aussi simple ? et en termes tellement courtois !

Pour la géométrie de la chose,  le "niet" (post #6) à jdec pour sa réponse "Amour fou"  (post #4) est absolument abusif (la verticale étant "verticale" pour le dessin (post #1) sur écran et étant comprise comme la perpendiculaire abaissée de J au tracé des bords de la rivière)

De même pour "Goujat" la valeur "le point A doit être 158,33... m à gauche de la verticale de R" est correcte et corroborée par les calculs de jpp au post #5
Mais sans doute auriez-vous désiré que jdec ou jpp parlent de (....) de RJ1 pour jdec et de RJ ( avec rivière de largeur nulle) pour jpp

Alors, si  "Vous êtes tous bien trop compliqués." : Donnez une version pédagogique détaillée.

Cordialement.

Dernière modification par yoshi (12-01-2013 10:55:30)

jpp

Membre

Inscription : 31-12-2010

Messages : 1 170

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

salut.

▼ géomètriquement

pour la question 2 par exemple , j'effectue un glissement de terrain sud ( coté roméo) et R glisse de 20m vers le nord et devient R'

je trace R'J  trace la médiatrice du segment R'J qui coupe la berge nord  en P , position de la passerelle .

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

Re,

@yoshi : Pourquoi me solliciter pour un problème aussi simple ?

Pardon, Maître, de vous avoir dérangé pour quelque chose de si indigne de votre immense talent.
Au passage, votre grandeur, quel besoin de vous montrer désobligeant ?... Ça vous démangeait ? Décidément, vous faites tout pour apaiser les tensions latentes ! Le tact, ça s'apprend aussi.

Ok, veuillez donc considérer que je ne m'aviserai plus à l'avenir de me mêler à vos jeux : je vais retourner jouer à la bataille...
1. Désolé, mes calculs avaient été faits d(J, bord supérieur)= 280 alors que c'était 300 dans le sujet
2. Donc mes excuses à amatheur, jpp et jdec, ils avaient raison.
3. Un dessin simple et précis m'aurait suffi et permis de voir l'exactitude du premier coup d'oeil...

Pardon de vous avoir dérangé pour de pareilles futilités...

▼Pour totomm

Cela vous satisfait-il ?

Avec ce dessin-là,il n'y a pas matière à interprétation.
Je n'attendais rien d'autre.
Soit R le centre d'un système orthonormé tel que l'axe des ordonnées est porté par la verticale passant par R et l'axe des abscisses est porté par la parallèle aux bords de la rivière et passant par R
Coordonnées de J(150 ; 720) ; de J1(150 ; 700).
Equation de (RJ1) :[tex] y = \frac{700}{150}x = \frac{14}{3}x[/tex]
Coefficient directeur de la médiatrice de [RJ1] : [tex]a =-\frac{3}{14}[/tex]
Coordonnées du milieu de [RJ1] (75 ; 350)
Equation de la médiatrice
[tex]y-350 = -\frac{3}{14}(x - 75)[/tex]

[Le point A cherché a une ordonnée de 400
Donc :
[tex]400 - 350 = -\frac{3}{14}(x - 75)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]50\times 14 = -3(x - 75)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]700= -3x+225[/tex]
et [tex]x = \frac{700-225}{3} = -\frac{475}{3}\approx -158,33\, m[/tex]
Avec 300, c'est juste

Amusez-vous bien entre vous !

Yoshi

[EDIT]Désolé JPP, tu n'aurais pas dû à avoir à reposter, j'ai été obligé d'interrompre mon écriture : j'ai dû emmener ma fille d'urgence chez un commerçant où elle avait oublié son portefeuille.
Happy end : elle l'a récupéré intact...

Dernière modification par yoshi (12-01-2013 12:11:31)

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : (Remonté de la cave) Romeo et Juliette

ReBonjour,

Mais sans doute auriez-vous désiré que jdec ou jpp parlent de (....) de RJ1 pour jdec et de RJ ( avec rivière de largeur nulle) pour jpp

je croyais avoir écrit "médiatrice" et non (….) et j'aurais dû écrire [RJ1] au lieu de RJ1 et [RJ] au lieu de RJ

J'attends avec intérêt la participation de totomm : notre "Pic de la Mirandole" va-t-il être arrêté ?

Je n'avais aucune intention d'intervenir, attendant la réaction de jdec et  jpp aux niet et non de yoshi (post #6). Je comprends maintenant après les explications de yoshi post #12.1.

Nous sommes sur ce Forum avec nos savoirs et nos erreurs possibles : Oui, on s'amuse souvent bien
Mais ne vaudrait-il pas mieux ne pas "provoquer" avec des qualificatifs qui peuvent être pris en mauvaise part ?
J'aurais dû sans doute rester indifférent malgré ce "Pic de la Mirandole" plutôt mal venu !

Cordialement.