Équations trigonométrique avec inconnus

tvjsp08 · 05-01-2013 11:53:49

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour calculer ou au moins m'expliquer comment faire ceci :

Je dois calculer cos (a+b) , sin (2a) et tan (2a) sachant uniquement que :

cos (a) = -2/3 ( pi/2 < ou = (a) < ou = pi )
sin (b) = -4/5 ( 3pi/2 < ou = (a) < ou = 2pi )

J'ai besoin d'aide pour commencer l'exercice, pour savoir comment je peux trouver cos (b) et sin (a) car je pense ne pas pouvoir commencer cet exercice sans ces données..

Merci d'avance pour vos explications !

ymagnyma · 05-01-2013 12:36:18

Bonjour, et ben et ben, tu vas être le roi de la trigonométrie avec tout ça !

Souviens toi d'une relation fondamentale liant cosinus et sinus : pour tout réel [tex]x[/tex], [tex]cos^2(x)+sin^2(x)=1[/tex].
Appliquée à [tex]x=a[/tex], tu trouves [tex]sin(a)[/tex], (puisque tu connais [tex]cos(a)[/tex] et aussi, le signe de [tex]sin(a)[/tex] (très important).
Appliquée à [tex]x=b[/tex], tu trouves [tex]cos(a)[/tex], (puisque tu connais [tex]sin(b)[/tex] et aussi, le signe de [tex]cos(b)[/tex].

Dernière modification par ymagnyma (05-01-2013 12:36:40)

tvjsp08 · 05-01-2013 13:03:22

Merci beaucoup encore une fois !
Et oui j'esprère vraiment gérer la trigo après tous ces exercices !
Ok donc je fais :

cos"2 (a) + sin"2 (a) = 1 <--> sin"2 (a) = 1 - ( -2/3"2 )
cos"2 (b) + sin"2 (b) = 1 <--> cos"2 (b) = 1 - ( -4/5"2 )

Puis j'enlève les racines carrées ?

ymagnyma · 05-01-2013 13:10:07

attention, d'une part, les carrés sont à l'extérieur des parenthèses, d'autre part, on "enlève" pas les racines carrées comme ça, zou.

Pour [tex]c>=0[/tex] l'équation [tex]x^2=c[/tex] possède deux solutions, (ou une pour[tex] c=0[/tex]), [tex]x= -\sqrt c[/tex] et [tex]x=\sqrt c[/tex].

Dans ton problème, il s'agit de savoir quelle solution tu veux : la négative ou la positive. Pour le savoir, reviens aux encadrements de a et de b qui te donnent le signe de sin(a) et cos(b).

Dernière modification par ymagnyma (05-01-2013 13:13:05)

tvjsp08 · 05-01-2013 13:24:49

Ok je vais procéder par étapes car là j'ai pas tout compris ..
Les carrés a l'extérieur :
cos"2 (a) + sin"2 (a) = 1 <--> sin"2 (a) = 1 - ( -2/3 ) "2
cos"2 (b) + sin"2 (b) = 1 <--> cos"2 (b) = 1 - ( -4/5 ) "2

Alors oui, pour enlever les racines, si je me souviens bien on prend le nombre sans le carré, puis on le met sous une racine carrée est ce bien ça ?

La négative ou la positive, je ne vois pas de quoi vous parlez là.. ?

yoshi · 05-01-2013 13:44:13

Bonjour,

tvjsp08, si tu ne veux pas te mettre au Code LaTex, alors fais au moins un effort pour utiliser la barre d'outils des messages : tu y trouves notamment exposant et indice :
cos² (a) + sin² (a) = 1 <--> sin² (a) = 1 - (-2/3 )²

C'est quand même un peu plus lisible, non... ?
Alors, s'il te plaît, fais un effort, avant que je ne me lasse...

Pour le reste, je laisse ymagnyma faire son apprentissage de la pédagogie : comme je vois qu'il passe souvent, je ne m'en mêle pas.

Tout de même, voilà qui me laisse rêveur :

Alors oui, pour enlever les racines, si je me souviens bien on prend le nombre sans le carré, puis on le met sous une racine carrée est ce bien ça ?

Rafraîchis ma mémoire ! Tu es en quelle classe déjà ???

@+

tvjsp08 · 05-01-2013 14:02:35

Effectivement vous avez raison, je vais faire des efforts, mais comprenez que je suis sur ce site depuis quelques jours seulement alors je ne savais pas forcément que le code latex existait..
Puis désolée encore de poser une question si bête sur un exercice pareil, mais je pense que ça arrive malheureusement à tout le monde d'oublier une chose si facile..
A bientôt, merci quand même pour votre conseil !

ymagnyma · 05-01-2013 14:05:30

Pas de soucis Yoshi, en plus, souvent les mots me manquent.

tvjsp08, avant de trouver [tex]sin(a)[/tex], trouve la valeur exacte de [tex]sin^2(a)[/tex].
Exemple : résoudre dans [-1,0], [tex]x^2=0,25-0,09[/tex]
je commence par calculer 0,25-0,09 histoire d'y voir un peu mieux ; ça fait 0,16.
donc [tex]x^2=0,16[/tex]. à priori, cette équation a deux solutions : [tex]x=-\sqrt{0,16}[/tex] et [tex]x=\sqrt{0,16}[/tex]
Sauf que je cherche des solutions comprises entre -1 et 0. Donc seul [tex]x=-\sqrt{0,16}[/tex] convient.
Remarque, il se trouve que [tex]-\sqrt{0,16}[/tex] a une autre écriture, plus "lisible", : [tex]-0,04[/tex].
Mais si, au lieu de faire -0,09 j'avais proposé +0,09, la résolution était la même, sans me poser plus de question que ça sur cette histoire de racine carrée.
De même, si j'avais cherché les solutions entre entre 0 et 1, j'aurai eu une autre réponse.

Dernière modification par ymagnyma (05-01-2013 14:38:40)

tvjsp08 · 05-01-2013 14:24:58

Ok alors si je vous comprends bien, je dois faire ce calcul dont je vous ai parlé plus haut pour trouver le sin (a), c'est à dire :
cos ^2 (a) + sin ^2 (a) = 1
1 - ( -2/3 ) ^2 = 0,4444..^2 ( = 0,2222... )
Vous me demandez d'avoir une réponse exacte, or ce n'est pas le cas donc..
Je suis désolée si je n'ai pas été très claire avant je vais essayer de l'être plus après la remarque de Yoshi..
Merci à vous !

ymagnyma · 05-01-2013 14:45:19

Et puis attention [tex]1-(-2/3)^2 \neq 0.4444...^2[/tex] d'une part parce qu'il n'y a pas de carré, d'autre part parce que c'est (-2/3)^2 qui fait 0.4444444444444 ...
Pour trouver la valeur exacte, travaille plutôt en fractions : [tex]1-(-{} {\frac{2}{3}})^2=1-\frac{4}{9} = \frac{...}{9}[/tex]

Dernière modification par ymagnyma (05-01-2013 17:05:45)

tvjsp08 · 05-01-2013 15:03:24

Ah oui d'accord, donc la valeur de [tex]\sin^2 (a)[/tex] serait [tex]\frac{5}{9}[/tex]

Donc si je continue pour "retirer" le carré du sin (a) je dois avoir comme résultat [tex]\sqrt{\frac{5}{9}}[/tex] ce qui me fera [tex]\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex] ?

J'ai tenté de faire le code Latex, si ca ne fonctionne pas veuillez m'en excuser..
Merci pour votre patience !

yoshi · 05-01-2013 15:19:14

Salut,

Tu pouvais savoir si le code LaTeX fonctionnait (et aussi si ta présentation te convenait) rien qu'en cliquant sur Prévisualisation en bas de la fenêtre de messages à côté de Valider...
Mais oui, c'est bien...

Essai réussi !

@+

tvjsp08 · 05-01-2013 15:23:53

cos^2 (b) + sin^2 (b) = 1 <--> cos^2 (b) = 1 - ( -4/5 ) "2

[tex]\cos^2 (b) = 1 - \left(\frac{-4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}[/tex]

[tex]\cos (b) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}[/tex]

Est ce bien ca ?

tvjsp08 · 05-01-2013 15:25:53

Oups effectivement Yoshi, j'essaye de faire des efforts car ce forum m'aide beaucoup !

ymagnyma · 05-01-2013 16:26:20

Oui, c'est bien ça, car sin(a)>0 et cos(b)>0. Précise en passant de [tex]cos^2[/tex] à [tex]cos[/tex].

Bravo.

tvjsp08 · 05-01-2013 16:36:17

J'ai encore un petit soucis à vrai dire, j'ai trouver que :

Cos (a+b) = [tex]\frac{-6\,+\,4\sqrt{5}}{15}[/tex]
Sin (2a) = [tex]\frac{-4\sqrt{5}}{3}[/tex]

Mais je bloque pour :

Tan (2a) = [tex]\frac{2\,\tan \,\left(a\right)}{1-\,{\tan }^{2}\left(a\right)}[/tex] = [tex]\frac{2\,\tan \left(a\right)}{1-\frac{1-\cos \,\left(2a\right)}{1+\cos \left(2a\right)}}[/tex] = [tex]\frac{2\,\tan \left(a\right)}{1-\frac{1-\left({\cos }^{2}\left(a\right)\,-\,{\sin }^{2}\left(a\right)\right)}{1+\left({\cos }^{2}\left(a)\,-\,{\sin }^{2}\left(a\right)\right)\right)}}[/tex]

Sachant que cos^2 (a) = 4/9

et sin^2 (a) = racine de 5/3

Le dessous est simple a calculer sachant ca mais je ne vois pas comment transformer le haut.. Merci de votre aide !

tvjsp08 · 05-01-2013 16:39:41

Et puis d'ailleurs pas besoin de savoir cos^2 (a) et sin^2 (a) car [tex]\frac{1-x}{1+x}[/tex] il y a un truc pour faire simple !

ymagnyma · 05-01-2013 17:05:07

Ok pour cos(a+b), en revanche, une erreur pour sin(2a) ; [tex]\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \neq \frac{1}{3}[/tex] .

Pour tan(2a), tu cherches très compliqué ; n'oublies pas que tu connais sin(2a). Par définition, [tex]tan(X)=\frac{sin(X)}{cos(X)}[/tex] ...

Dernière modification par ymagnyma (05-01-2013 17:06:09)

ymagnyma · 05-01-2013 17:07:04

Je n'ai pas compris ta remarque au post #17.

tvjsp08 · 05-01-2013 23:05:21

Vous avez raison, je cherche bien trop compliqué et donc je fais :
Tan (2a) = [tex]\frac{\sin \,\left(2a\right)}{\cos \,\left(2a\right)}[/tex]
Est ce bien cela ?
Merci à vous !

tvjsp08 · 06-01-2013 12:42:34

Ah oui donc le dénominateur de sin 2a est 9 et non 3, merci !

ymagnyma · 07-01-2013 12:40:56

Oui, et pour sin(a2) et pour tan(2a). C'est bien.

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