Équations dans un cercle trigonométrique

tvjsp08 · 02-01-2013 18:33:56

Bonjour,
Mon professeur m'a demandé de faire quelques exercices mais je ne comprends vraiment pas comment je pourrais les faire, nous n'avons pas été jusque là dans mon cours..
Elle me demande de trouver R et de le placer dans le cercle trigonométrique :
1) sin (2x) . cos ("pi"/6) + cos (2x) . sin ("pi"/6) = sin (x)
2) 2 . cos "carré" (x) + cos (x) = 1
3) 2 . sin "carré" (x) = sin (x)
Or nous n'avons vu que les formules de bases, les thèses et quelques démonstrations, je trouvais que la 1) se rapprochais de cette formule :
sin (a+b) = sin a . cos b + cos a . sin b
Mais je ne vois pas comment continuer puisque mon résultat est sin (x) tandis que dans la formule ça devrait être sin (x+y)
Merci d'avance pour votre aide je suis complètement perdue..

ymagnyma · 02-01-2013 18:51:06

Bonjour.
Tu as du voir que l'équation [tex]sin(x)=sin(a)[/tex] avait pour solutions, pour [tex]k[/tex] dans [tex]Z[/tex], [tex]x=a + k.2 \pi[/tex] et [tex]x=pi-a +k.2 \pi[/tex].

Transforme comme tu le suggères le membre de gauche de l'équation un, et tu obtiendras l'équation [tex] \sin(2x+\frac{\pi}{6})=\sin(x[/tex]).

Utilise alors plus la résolution (générale) de [tex]sin(A)=sin(B)[/tex], [tex]A=B[/tex] ou [tex]A=\pi-B[/tex] à [tex]2 \pi[/tex] près.

Pour 2. que penses-tu de l'équation [tex]2X^2+X-1=0[/tex] ? Quelles sont les solutions ? Fais alors le lien avec ta question.

Pour 3. regroupe puis factorise, ça devient une "jolie et gentille" équation.

Bon courage. Bonne soirée.

tvjsp08 · 02-01-2013 19:00:19

Je vais essayer d'appliquer ce que vous venez de me dire, merci beaucoup ! Bonne soirée à vous aussi !

tvjsp08 · 03-01-2013 18:05:45

Je suis désolée mais je ne comprends vraiment pas comment résoudre le 1, si vous pouviez me réexpliquer.. Merci !

yoshi · 03-01-2013 19:06:36

Bonsoir,

Ton intuition était la bonne
[tex] \sin (2x)\cos (\pi/6) + \cos (2x) . \sin (\pi/6)= \sin(2x+\pi/6)[/tex]
Et que te dis l'énoncé ? Que ce membre doit être égal à sin(x).

Tu dois donc résoudre l'équation :
[tex]\sin(2x+\pi/6)=\sin(x)[/tex]

Que t'a écrit ymagnyma ?
Ceci :

Tu as dû voir que l'équation sin(a)=sin(b) avait pour solutions, pour k dans Z, [tex]a=b+k.2\pi \; \text{ et }\; a=\pi−b+k.2\pi[/tex] .

Ici tu as
[tex]a = 2x+\pi/6\; \text{ et }\; b = x[/tex]...

Si tu ne comprends toujours pas, reviens !

@+

tvjsp08 · 03-01-2013 19:15:18

Bonsoir, merci de m'aider, mon intuition me disait de faire ca mais je ne sais pas tellement pourquoi..
Puis pourquoi est ce que sin (x) = sin(2x+π/6) ?
Et justement le problème c'est que je n'ai pas vu ou alors je ne m'en souviens vraiment pas l'équation sin (a) = sin (b) ..
Merci d'avance de vos précieuses explications..

tvjsp08 · 03-01-2013 19:26:16

J'ai cherché un peu sur internet et j'ai compris, du moins je pense que je dois remplacer cos pi/6 et sin pi/6 par leurs valeurs respectives donc cos pi/6 = (racine de 3) / 2 et sin pi/6 = 1/2
Je me retrouve donc avec :
sin (2x) . (racine de 3) / 2 + cos (2x) . 1/2 = sin (x)
et utiliser les formules de duplication pour "réécrire cos2x et sin2x
Je me retrouve après avec :
2 . sin (a) . cos (a) . (racine de 3) / 2 + 1 - 2 . sin " carré " (a) . 1/2 = sin (x)

...

Je pense que je ne suis pas sur la bonne voie..

ymagnyma · 03-01-2013 19:49:04

Bonsoir.
Par rapport au post #6 : "pourquoi est-ce que sin(x)=sin(2x+pi/6) ?"

Il n'y a pas de "pourquoi", la question est : pour quelle(s) valeur(s) de x cette égalité est-elle vraie ?

C'est comme 2x+3=3x+2, derrière cette égalité, il y a plusieurs questions du genre : y a t-il un nombre x pour lequel cette égalité est vraie ? trouvez tous les nombres x pour lesquels cette égalité est vraie.

Bref, tu cherches bien à résoudre une équation, (E) : sin(2x+pi/6)=sin(x) c'est-à-dire, trouver l'ensemble des nombres x qui rendent cette égalité vraie.

Par exemple, x=0 ne convient pas puisque sin(pi/6) n'est pas égal à sin(0).
En revanche, x= - pi/6 convient puisque 2.(-pi/6)+pi/6=-pi/6 et sin(-pi/6) est bien égal à ... sin(-pi/6).

Pour trouver toutes les solutions, je te renvoie aux posts #2 et #5.

Ce que tu trouves au post #7 complique considérablement la situation, non ? Reste vraiment sur ta première idée, tu avais fait le plus dur.

Tu dis ne pas avoir vu les équations sin(a)=sin(b) et cos(a)=cos(b) ... Je ne vois pas trop comment tu peux faire ce devoir sans ces résultats. Tu les trouveras sur internet, (je ne les ai pas trouvé dans les fiches de cours du site, mais je n'ai peut-être pas bien vu), tu les trouveras aussi forcément dans ton manuel.

Bon courage.

p.s. où en es-tu pour les équations 2 et 3 ?

Dernière modification par ymagnyma (03-01-2013 19:50:20)

tvjsp08 · 03-01-2013 20:01:18

Merci je vais donc chercher les équations, non je ne comprends vraiment pas pourquoi ma professeur m'a donné ces exercices a faire, nous avons vu comme je vous l'ai dis plus haut les thèses cos (a+b) , cos (a-b) , sin (a+b) , sin (a-b) , tan (a+b) , tan (a-b) .. Donc c'est pour ca que je suis perdue..

Ben a vrai dire, je n'ai pas encore regardé aux équations 2 et 3 je pensais essayer de faire la première avant de faire les autres..

Dois je continuer comme ici http://homeomath.imingo.net/cos1.htm ?

Merci encore !

ymagnyma · 03-01-2013 20:09:15

Oui, c'est exactement ça pour la 1. avec sin, comme je te l'ai écris au post #,
pour la 2. , il y a d'abord un changement de variables à faire, c'est à dire résous d'abord l'équation 2X^2+X-1=0.
Tu vas trouver deux racines X_1 et X_2. Il te restera à résoudre deux équations : cos(x)=X_1 puis cos(x)=X_2.

C'est pas gentil gentil quand on ne l'a pas vu ...

pour la 3. même idée en plus direct : tu rassembles d'un même côté, tu factorises, puis tu résous deux équations en sin.

Vraiment, bon courage.

tvjsp08 · 03-01-2013 20:34:41

Merci beaucoup je vais voir à ça ce soir, et je suppose que j'aurais sans doute encore quelques questions que je vous poserais demain..
Je ne pense pas que j'offrirai des chocolats a ma prof pour la nouvelle année mais a vous je le ferais bien ! Merci beaucoup ! :)

tvjsp08 · 04-01-2013 15:16:27

Bonjour, le 1 et le 2 sont faits et compris mais j'ai toujours un problème pour le 3.. Merci de m'aider une derniere fois pour cet exercice !

yoshi · 04-01-2013 15:50:18

Bonjour,

Il te faut revenir à la résolution d'une équation-produit :
[tex]2[\sin(x)]^2 = \sin (x)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2[\sin(x)]^2- \sin (x)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\sin(x)[2sin(x)-1]=0[/tex]

Et là sans surprise, tu dois résoudre
les équations [tex]\sin(x)=0[/tex] et [tex]2\sin(x)-1=0[/tex]

@+

tvjsp08 · 04-01-2013 16:00:31

Merci alors en fait je ne comprends pas, c'est une formule a savoir par coeur ou c'est quelque chose qu'il faut comprendre quand vous passez de l'étape 2 a l'étape 3, la soustraction devient multiplication.. ?
2[sin(x)]2−sin(x)=0
⇔
sin(x)[2sin(x)−1]=0
Sinon le reste est bien clair merci !

ymagnyma · 04-01-2013 16:19:40

Bonjour ;
passage de l'étape 2 à l'étape 3, ...
revenons presque au départ, mais avec des X au lieu des [tex]sin(x)[/tex].
Tu as à résoudre l'équation [tex](E) : 2X^2=X[/tex]. Je pense que tu sais faire ça depuis belle lurette.

[tex](E) \Longleftrightarrow 2X^2-X=0 \Longleftrightarrow X(2X-1)=0 \Longleftrightarrow \left \{
\begin{array}{rcl}
2X-1 & = & 0 \\
X & = & 0
\end{array}
\right.[/tex] (L'une ou l'autre)
Tu vois le lien avec le post#13 de Yoshi ?

Vois-tu, il n'y a pas là de nouvelles formules, "simplement", (mais je sais que ce n'est pas simple), tu joues avec sin(x) comme tu joues avec X. C'est ce qu'on appelle un changement de variables. (La variable sin(x) est momentanément appelée X).

N'hésite pas à nous donner tes résultats, bonne fin d'exercice.

Dernière modification par ymagnyma (04-01-2013 16:21:22)

tvjsp08 · 04-01-2013 16:34:44

Merci encore pour votre aide !

Merci de me dire si mes résultats sont corrects :

1) x = -pi/6 + 2kpi ou 5pi/18 + 2 kpi ; k appartenant a Z
2) x = + ou - pi/3 + 2kpi ou pi + 2kpi ; k appartenant a Z
3) x = pi/6 + 2kpi ou 5pi/6 + 2kpi ; k appartenant a Z

ymagnyma · 04-01-2013 18:18:09

Très bien sauf pour 1), c'est bien 5pi/18, mais + 2kpi/3, (tu as divisé par 3 ; il faut tout diviser par 3, y compris 2kpi).

Ben bravo, ça n'avait rien de trivial !

tvjsp08 · 05-01-2013 01:18:14

Ah oui d'accord, merci beaucoup !

ymagnyma · 05-01-2013 08:31:21

De rien, j'oubliai, pour la 3), il manque les solutions de sin(x)=0, tu as noté uniquement les solutions de sin(x)=1/2.

tvjsp08 · 05-01-2013 11:24:40

Oh pardon, je les ai trouvé mais j'ai oublié de les noter j'ai trouver x = 0 + 2kπ ou π + 2kπ !

ymagnyma · 05-01-2013 12:30:49

Très bien, c'est ça ; tu peux, pour résumer, dire que les solutions de l'équation sin(x)=0 sont , pour k dans Z, x=pi + kpi.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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Équations dans un cercle trigonométrique

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