f rond f =exp

jfl13 · 02-01-2013 10:00:26

Bjr à tous,
(Bonjour)

qq un (Quelqu'un) pourrait-il m'aider à résoudre cette équation fonctionnelle :
[tex](fof)(x) = e^x[/tex] ?

J'ai bien qq (quelques) idées, mais je suis bloqué...

Par exemple, si f existe et si elle est dérivable, alors on obtient une équation fonctionnelle qui ne dépend plus de exponentielle:
(f'rondf)xf' - frondf = 0

merci à tous

Dernière modification par yoshi (02-01-2013 10:37:34)

freddy · 02-01-2013 11:09:37

Salut,

commençons pas le commencement : quelles sont tes idées ?

Dernière modification par freddy (02-01-2013 11:13:21)

yoshi · 02-01-2013 11:38:49

Bonjour,

T'as gagné combien de temps avec tes abréviations (voir Règles de BibMath) ?
Pourquoi mettre ce sujet dans les énigmes. Je l'ai déplacé (et d'ailleurs redéplacé : plus du ressort du supérieur que de collège-Lycée, au temps pour moi !)
J'ai passé ta première question en LateX pour plus de visibilité, mais là :
(fof)xf' - frondf = 0
je ne peux pas...
Ton x est quoi ? le symbole de la multiplication ?
Pour des sujets aussi pointus tu devrais utiliser le Code LaTex (aucun prérequis) sinon une petite lecture,
ou cliquer sur le bouton "(avec petit tuto intégré en .pdf) de Fred...

freddy a répondu entretemps, mais ça ne change pas ni mes remarques, ni sa question.

@+

jfl13 · 02-01-2013 21:45:09

Bonsoir,

@ YOSHI: désolé pour ces facilités que je me suis accordée tant dans les abbrévations que dans l'écriture de l'équation mais j'avoue ne pas avoir l'habitude du site... promis, je ne m'y ferai plus prendre! OK pour utiliser les éditeurs de formule Latex mais de prime abord, sans avoir regardé encore attentivement le site wikipédia, je n'ai pas trouvé comment écrire le symbole de composition de fonction. Bref, nouvel arrivant = des efforts!

Pour répondre à la question, le x est bien l'opérateur multiplication.

Bonne soirée.

freddy · 02-01-2013 23:20:45

jfl13 a écrit :

Bonsoir,
@ YOSHI: désolé pour ces facilités que je me suis accordée tant dans les abrévations que dans l'écriture de l'équation mais j'avoue ne pas avoir l'habitude du site... promis, je ne m'y ferai plus prendre! OK pour utiliser les éditeurs de formule Latex mais de prime abord, sans avoir regardé encore attentivement le site wikipédia, je n'ai pas trouvé comment écrire le symbole de composition de fonction. Bref, nouvel arrivant = des efforts!
Pour répondre à la question, le x est bien l'opérateur multiplication.

Bonne soirée.

Salut,

et c'est tout ? Tu confirmes que x veut dire "fois" et ça s'arrête là ?

Bon, écoute, tu causes bien mais tu sembles économe de tes efforts, alors pourquoi veux tu que nous en faisions à ta place ?

A plus ?

yoshi · 02-01-2013 23:23:42

Bonsoir,

OK pour utiliser les éditeurs de formule Latex mais de prime abord, sans avoir regardé encore attentivement le site wikipédia, je n'ai pas trouvé comment écrire le symbole de composition de fonction.

Bof... Si tu ne peux pas escalader la montagne, fais-en le tour : telle est ma devise !
Pas de symbole rond ? Je sais... connais pas non plus, j'ai mis un o minuscule à la place...
Bon, je regarde ici.
Rien vu de probant, à part peut-être \circ --> [tex]\circ[/tex] à comparer avec le o minuscule [tex]o[/tex]... Oui, c'est un peux mieux.
Et si je dis à Latex que c'est du texte : \text{o} --> [tex]\text{o}[/tex]..
Oui, le \circ est toujours mieux : adopté !
Pour la multiplication :
- Hors Latex (idans les langages de programmation par ex), la tradition est d'employer le *
- En Latex, c'est \times (fois) --> [tex]\times[/tex], mais avec l'éditeur de formules de Fred, pas besoin de le savoir...

Moyennant quoi ta formule devient :
[tex](f' \circ f)\times f' - f \circ f = 0[/tex]

Donc, sur le fond, ça dépasse ma compétence, mais si tu veux une réponse, je ne saurais trop te conseiller de développer tes "quelques idées", ce qui fournira une base de travail appréciable sur un sujet aussi pointu, et de plus, c'est la politique du site...

Courage.

@+

freddy · 03-01-2013 07:55:41

Salut,

les équations fonctionnelles font parties des sujets les plus trapus en maths, mais dans le tien, tu ne nous donne aucune indication complémentaire sur la nature de la solution et le domaine de résolution.

Si f est dérivable, on a [tex]f'\left(f(x)\right)\times f'(x) = f\left(f(x)\right) = exp(x)[/tex] ...

En outre, la fonction exponentielle étant "fermée" sur elle même pour la dérivation et l'intégration, je ne vois pas comment la retrouver via une composition de fonction avec elle même.

jfl13 · 03-01-2013 12:28:20

Bonjour à Yoshi et Freddy,

Juste un petit mot pour vous dire ceci en préambule:
Je suis nouveau membre et donc assez peu rompu encore avec les devoirs du site... je m'en suis excusé me semble-t-il dans le précédent mail (utilisation de Latex à faire, pas d'abbréviations, etc... j'ai compris)
J'apprécie très largement que le site existe, sa construction et ses informations.
J'apprécie tout autant que l'on prenne le soin de me répondre mais j'avoue trouver a contrario, si je peux me permettre, que les propos tenus sont un peu pénibles à lire: "tu causes bien", "économe de tes efforts" etc... merci, mais les maths doivent rester un plaisir qui ne doit être dévoyé par de tels propos. Bref, en cette nouvelle année, ne nous fachons pas svp, et quant à moi, je vais essayer d'être plus fructueux sur le sujet qui nous importe.

Je dois pour cela maîtriser davantage Latex pour écrire... je reviens vers vous dès que possible.

Merci

amatheur · 03-01-2013 14:50:47

salut
@freddy, vous avez parfaitement raison, les équations fonctionnelles ce n'est pas de la tarte, particulièrement celle-ci! après quelque heures de travail, les seuls conclusions que j'ai pu démontrer: f est une bijection, sans point fixe.
en admettant des hypothèses de dérivabilité, j'ai aboutie à des équations différentielles pas très sympa!

imed1 · 04-01-2013 09:52:58

Bonjour,
Mon raisonnement vous paraitra, peut être trop simpliste:
par l'absurde si f existait et était dérivable on tombe sur l'équation du poste #1, qui à mon avis veux dire que f'(x) est constante =1.
donc f(x)=x et donc fof(x)=x et x n'est pas exp(x)...

De mon temps on appelait çà une démonstration par l'absurde

imed1 · 04-01-2013 10:03:39

excusez moi je me rattrappe. Je dois changer mes lunettes: j'ai lu fof au lieu de f'of

Roro · 04-01-2013 21:26:54

Salut (et bonne année à tous),

Je n'ai pas d'idée alors j'appelle google en tapant fof=exp... il y aura plein de réponses assez pertinentes dont une d'un niveau semble-t-il assez simple (terminale ?) :

http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/pro … of_exp.pdf

Roro.

freddy · 04-01-2013 21:32:53

Salut,

trop fort Roro, trop fort !

amatheur · 04-01-2013 22:50:32

salut
beau problème en effet!

totomm · 05-01-2013 22:29:14

Bonsoir,

Pour qui voudrait tester en Python plutôt qu'en ThinkPascal
(il y a une erreur dans le code de l'article cité Post #12 lire "begin fn := 0.5 + t end;" en 3ème ligne)

#Python 3.2
#Fonction fof=exp

from math import *

def f(x):

    if x<0.0:

        return log(f(exp(x)))

    else: #x>=0

        if x<=0.5:

            return 0.5+x

        else: #x>0.5

            if x<=1.0:

                return exp(x-0.5)

            else:

                return exp(f(log(x)))

Cordialement

jfl13 · 06-01-2013 19:50:28

Bonsoir à tous,

un grand merci à tous ceux qui se sont penchés sur ce sujet.

Et un remerciement tout spécial à Roro... c'est en effet désormais la bonne idée... google for eveything.... merci encore.

freddy · 06-01-2013 22:38:34

jfl13 a écrit :

Bonsoir à tous,
un grand merci à tous ceux qui se sont penchés sur ce sujet.
Et un remerciement tout spécial à Roro... c'est en effet désormais la bonne idée... google for eveything.... merci encore.

Salut,

ce qui te sauve, c'est la très grande curiosité permanente qui anime les "bénévoles" du site.

Bb

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-01-2013 10:00:26

f rond f =exp

#2 02-01-2013 11:09:37

Re : f rond f =exp

#3 02-01-2013 11:38:49

Re : f rond f =exp

#4 02-01-2013 21:45:09

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#5 02-01-2013 23:20:45

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#6 02-01-2013 23:23:42

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#7 03-01-2013 07:55:41

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#8 03-01-2013 12:28:20

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#9 03-01-2013 14:50:47

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#10 04-01-2013 09:52:58

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#11 04-01-2013 10:03:39

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#12 04-01-2013 21:26:54

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#13 04-01-2013 21:32:53

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#14 04-01-2013 22:50:32

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#15 05-01-2013 22:29:14

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#16 06-01-2013 19:50:28

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#17 06-01-2013 22:38:34

Re : f rond f =exp

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