Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Re,

Et juste du coup yoshi, qu'est ce qui doit vraiment (algébriquement) appartenir à R+ : ton taux d'accroissement racine de h ? O+h seulement?

Bon, hier soir, je n'avais plus les idées très claires, mais suffisamment pour répondre de façon intelligible.
Je ne vais pas me répéter ...
Relis-moi...

Et puis dans ton post 20, j'ai pas très bien compris l'histoire du E positif ou négatif...

???
J'ai relu mon post #20 (en diagonale, certes...), je n'ai pas trouvé de quoi tu partles...
Citation, s'il te plaît : procéder par ellipse, c'est une volonté délibérée ?

J'ai bien l'impression que chaque réponse te permet de poser des questions - oiseuses - supplémentaires...
Reprends calmement la lecture.

J'ai fait les recherches que tu n'as pas faites.
BibM@th ici parle de taux d'accroissement en un point:

Analyse -- Fonctions d'une variable réelle

Si f est une fonction qui va de [a,b] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], et si x0 est un point de [a,b], le taux d'accroissement de f en x0 est la fonction définie, là où c'est possible, par T(h)=(f(x0+h)-f(x0))/h. Le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0. C'est aussi la pente de la corde qui lie le point (x0,f(x0)) au point (x0+h,f(x0+h))

.

D'autres sites parlent de taux d'accroissement sur un intervalle :

Ainsi, le taux d'accroissement sur un intervalle donné, correspond au coefficient de la droite qui passe par les points images des bornes de l'intervalle

--> http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 761#p37761
Beaucoup d'autres parlent de taux d'accroissement entre deux points...

Tu dois te baser sur ton cours.
Je répète ma question : que dit ton cours à ce sujet ?

Si tu poses un intervalle [tex][0\;;\;0+h] \subset \mathbb{R}^+[/tex], ipso facto tu dis que h >=0...
Si tu parles de taux d'accroissement en 0, tu es obligé de préciser que h >=0 quand tu fais tendre vers 0
Sinon le calcul  [tex]\frac{(0+h)\sqrt{0+h}-0\sqrt 0}{h}[/tex], traduction de [tex]\frac{f(0+h)-f(0)}{h}[/tex] est illégale : la quantité sous la racine ne pouvant être négative.

@+

Paco74

Membre

Inscription : 30-12-2012

Messages : 14

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Autrement dit Freddy la propriétée du produit dérivable permet de nous dire qu'elle est bien dérivable sur l'intervalle commun de u et de v, ici sur R+ 0 exclus, sans pour autant nous dire qu'elle n'est pas dérivable sur d'autres nombre d'un autre intervalle, comme ici 0.
C'est bien cela ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Re,

Autrement dit freddy la propriété du produit dérivable permet de nous dire qu'elle est bien dérivable sur l'intervalle commun de u et de v, ici sur R+ 0 exclus, sans pour autant nous dire qu'elle n'est pas dérivable sur d'autres nombre d'un autre intervalle, comme ici 0.

Oui (même si je ne suis pas freddy  mais j'ai été l'élément déclencheur avec ma petite phrase sur le produit des fonctions dérivables).

Et c'est bien pourquoi j'avais écrit, à propos d'avoir démontré que f était dérivable sur tout R+, que c'était réinventer la roue : de toutes façons, comme produit de fonctions dérivables (sur [tex]\mathbb{R}^{+*}[/tex] : cette précision m'avait semblé inutile vu le contexte de mon propos. Apparemment, c'était une erreur de jugement), f était déjà dérivable sur [tex]\mathbb{R}^{+*}[/tex].
C'est bien aussi pourquoi, on t'a demandé d'étudier la dérivabilité en 0 : ailleurs (soit sur [tex]]0\;;\;+\infty[[/tex]), la question ne se pose plus à toi : c'est du cours.
Ce qui effectivement ne présage pas de sa dérivabilité en 0, même si [tex]\sqrt x[/tex] n'est pas dérivable en 0 d'où le sujet de l'exercice.

C'est bien pourquoi freddy a tenu à éclaircir/simplifier/expliciter mon propos sur le "produit des fonctions dérivables"...

@+

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

@yoshi,

j'ai en effet voulu apporter une minuscule précision pour le reste du lectorat du site (je suis comme toi et d'autres, on sait qu'il ne faut plus rien écrire passé une certaine heure), mais je ne souhaitais pas apporter de l'eau au moulin à paroles de notre ami.

Je pense qu'il gagnerait maintenant à faire comme Valoche : réfléchir avant de poster, ce que j'avais suggéré beaucoup plus haut d'ailleurs.

Fred a la bonne attitude : trop de pédagogie nuit à la pédagogie !  Je connais assez bien ce type d'étudiant qui pratiquent, involontairement mais explicitement, le jeu du "oui, mais .." qui en communication interpersonnelle, veut dire : "je ne t'écoute pas, écoute moi seulement ..." !

Sur ce, j'ai dit.

Dernière modification par freddy (02-01-2013 21:20:58)

Paco74

Membre

Inscription : 30-12-2012

Messages : 14

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Très bien. Je vais réfléchir. Voici en résumé ce que je n'avais  pas compris yoshi dans ton poste 20 :

"Ce n'est pas une obligation.
  Pour moi, à gauche de 0, c'est  0+ϵ,ϵ<0 ce n'est pas 0...
  Pour moi, à droite de 0, c'est  0+ϵ,ϵ>0 ce n'est pas 0...
En résumé, 0 est encore une valeur du domaine, tu as tout à fait le droit de calculer le nombre dérivé en 0 comme une limite ; si cette limite existe, tu auras ton nombre dérivé..."

Voilà, sinon, je vais tenter de clore la discussion (pour freddy ;)) dans un ultime résumé :

1ère méthode :

1-La fonction est définie sur R+
2- Je calcule le taux d'accroissement après avoir préciser que h est ici obligatroirement un réel sctrictement positif. (puisque 0+hdoit appartenir à R+ et qu'h doit être différent de 0)
    J'obtiens racine de h.
3-J'en déduis que la limite vaut 0, lorsque h tend vers 0 (ceci par valeurs positifs uniquement)
4- 0 est bien un réel donc l'on peut en déduire que la fonction est bien dérivable en 0, ici exlusivement à droite puisque la fonction n'est pas définie à gauche de  0 en valeur négatives.

2ème méthode :

1-Je précise l'ensemble de définition de f.
2-Je calcule sa fonction dérivée après avoir décomposé la fonction et obtiens (3/2)*racine de x
3-En calculant f'(0), j'obtiens  0, un nombre réel.
4-La fonction est donc bien dérivable en 0 (à droite si l'on veut préciser pour les mêmes raisons)

Voilà, je suis convaincu que rien ne manque :)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Re,

2ème méthode :

1-Je précise l'ensemble de définition de f.
2-Je calcule sa fonction dérivée après avoir décomposé la fonction et obtiens (3/2)*racine de x

Non pour le 2.
Calculer la dérivée et chercher sa valeur en 0, c'est présupposer son existence en 0, présupposer que que tu as le droit de la calculer, ce qui à ce stade relève de la pure conjecture...

Ta méthode n° 1 me paraît satisfaisante.

Quant à ce que j'ai voulu dire, de façon imagée, c'est que 0 appartient au domaine de définition de la fonction et qu'en conséquence puisqu'elle y est définie, tu as le droit de chercher ta limite en 0, mais avec h tendant vers 0 par valeurs positives...
Il ne doit pas venir à l'esprit de chercher la limite en -1, par exemple... -1 n'étant pas dans le domaine de définition.
O étant dans ce domaine, tu as tout à fait le droit de chercher si ta limite en 0 existe...

@+

Paco74

Membre

Inscription : 30-12-2012

Messages : 14

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Le problème étant achevé, j'identifie 2 finalités principales à cette exercice :

1-Il s'agit d'abord de nous montrer que la technique du  produit dérivable indique les intervalle sur lesquelles les fonction peut-être dérivable, mais pas l'intégralité de ces intervalles c'est à dire que la fonction étudiée peut aussi être dérivable sur d'autres nombres hors de cette intervalle (ici 0)

2-Une fonction dérivable en un nombre réel ne signifie pas qu'elle est dérivable à droite et à gauche de 0. Ici en locurrence la fonction est dérivable en 0 (tout court), mais seulement à droite et pas à gauche la fonction n'étant pas définie sur les nombres  strictement négatifs.

Super yoshi, merci beaucoup en tout cas .

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Re,

Bin moi, j'en vois une 3e et essentielle :
Le produit d'une fonction dérivable sur tout IR par une fonction dérivable sur [tex]\mathbb{R}^{+*}[/tex] peut être dérivable sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex] :
ainsi, [tex]\sqrt{x}[/tex] définie sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex] n'est pas dérivable en 0, et pourtant [tex]x\sqrt x[/tex] l'est quand même !!!

@+

Paco74

Membre

Inscription : 30-12-2012

Messages : 14

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Et la tangente, c'est donc l'axe des abscisses. En fait, on la considère ici comme une droite ou demi-droite, d'après ton shéma yoshi ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Re,

Ta fonction n'est pas définie à gauche, donc la courbe n'existe pas à gauche : la tangente en 0 est le "demi-axe" [Ox...

@