Aide DM Terminale S. approche fonctions exponentielle.

Lili75011 · 30-12-2012 17:31:19

Bonsoir, j'ai vraiment besoin d'aide pour les premières questions de mon devoir maison :

On cherche à trouve une fonction définie sur R verifiant les deux conditions: f(0)=1 f est dérivable sur R et pour tout x appartient à R, f'(x)=f(x)

a) On considère que la fonction h définie sur R par: h(x)=f(x)f(-x)
Démontrer que la fonction h est dérivable sur R

b) en déduire que la fonction h est constante sur R

c) Démontrer alors que pour tout x appartient à R, f(x)f(-x)=1

d)Déduire de la question 1 c que la fonction ne s'annule pas sur R
e)On suppose qu'il existe 2 fonctions f et g vérifiant les 2 conditions posées montrer en justifiant qu'alors la dérivée de la fonction g/f est = 0
f) en déduire en justifiant que dns ce cas pour tout x appartient à R, g(x)=f(x)

Merci de bien vouloir m'aider pour ces premières questions sans lesquelles je ne peux pas faire la suite.

Fred · 30-12-2012 18:11:28

Bonsoir Lili,

Alors voici une indication pour commencer (Yoshi répondra j'en suis sûr bien mieux que moi....).

a) Un produit de fonctions dérivables est dérivable....

b) Calcule la dérivée de la fonction h.
(indice : pour démontrer qu'une fonction est constante sur un intervalle, il suffit de prouver que sa dérivée y est toujours nulle).

Fred.

Lili75011 · 30-12-2012 18:30:11

Merci pour ce début de réponse

Lili75011 · 30-12-2012 19:07:41

Toujours personne pour m'aider???

yoshi · 30-12-2012 19:44:47

Bonsoir,

Dis la miss, tu n'aurais pas oublié que nous sommes des bénévoles et que nous avons aussi une vie personnelle et une vie de famille ?
Il n'y a pas le feu au lac comme on dit chez moi...

Ici, c'est : Aide-toi et ... BibMath t'aidera !
Donc, qu'as-tu fais depuis la réponse de Fred ?
Par exemple, la dérivée h'(x) ?

@+

Dernière modification par yoshi (30-12-2012 20:29:11)

Lili75011 · 30-12-2012 20:54:18

Oui veuillez m'excuser. Alors voila j'ai pas beaucoup avancé:

h'(x) = [f(x)*f(-x)]'
= f'(x)*f(-x) + f(x)*[f(-x)]'
= f'(x)*f(-x) + f(x)*[-f'(-x) ] car [f(-x)]' = -f'(-x) )
= 0
donc la fonction h est constante sur R

pour tout x, h(x) = h(0) = f(0)*f(-0) = f(0)*f(0) = 1*1 = 1
donc pour tout x, f(x)*f(-x) = 1

yoshi · 30-12-2012 21:01:18

Bonsoir,

Bon, bin tu sais maintenant que h est une fonction constante : ça c'est b)
Tu sais aussi que [tex]\forall x \in\mathbb{R}[/tex] : f(x)f(-x)= 1

Maintenant, il faut en déduire que f(x) ne s'annule pas...
Suppose qu'il existe a, tel que f(a)=0 : que devient alors le produit f(a)f(-a) ? Conclusion ?

@+

Lili75011 · 30-12-2012 21:02:35

Il est égal à 0...?

yoshi · 30-12-2012 21:14:57

Re,

Exact.
Résumons...
Tu es partie de la supposition qu'il existe a tel que f(a) = 0; tu en as déduit que
f(a)f(-a) = 0 or l'énoncé t'a fait démontrer que :
f(x)f(-x) = 1 [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex]

Qu'est-ce que tu penses maintenant de la supposition faite, est-elle exacte ou pas ?

@+

Lili75011 · 30-12-2012 21:20:40

Ah d'accord c'est une démonstration par l'absurde! Merci

yoshi · 30-12-2012 21:23:56

Bonsoir,

Les questions e) et f) ne te gênent pas ?

@+

Lili75011 · 30-12-2012 21:35:17

Non j'ai réussi à les faire. Par contre j'i ne autre question qui me gène: Expliquer pourquoi on sait que f est continue sur R, et que dire d signe d'une fonction continue sur R et ne s'annulant pas sur R?

yoshi · 30-12-2012 21:49:22

Re,

Toute fonction dérivable en a est continue en a... Or f est donnée dérivable pour tout x.

Imagine une fonction continue et qui s'annule sur |R...
Tu as combien de possibilités ?
Le cas extrême est celui, par ex, de f(x) = x² : pour l'éviter on peut prendre g(x) = x²+1 ou h(x)= -x²-1 ... qui ne s'annulent pas...

Et une qui s'annule "vraiment" : k(x)=x^3...

Compare les signes et tu verras...

@+

PS
Je repasserai peut-être d'ici 1 h, sinon demain matin...

Lili75011 · 30-12-2012 21:55:43

Une fonction continue et ne s'annulant pas est de signe + mais comment je peux justifier cela?

yoshi · 30-12-2012 22:03:23

Re,

Finalement, je suis resté. Mais pas pour longtemps : je pars...
Non, pas seulement : soit positive, soit négative...
Si la fonction a les 2 signes - et + ... elle passe forcément par 0 puisqu'elle est aussi continue.

Continue = pas de rupture... un point après l'autre.
Passer, par ex., d'une ordonnée -2 à une ordonnée 2 de façon continue t'oblige à passer par 0... T'es d'accord ?

@+

Lili75011 · 30-12-2012 22:15:45

Ok. Merci beaucoup pour votre aide.

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