Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

Paco74 · 29-12-2012 23:20:16

Bonjour,

J'ai un devoir très important à faire en maths et l'un des exercices porte sur l'étude de la dérivabilité en 0 de la fonction x racine carrée de x

A priori, le problème est simple puisque le calcul du taux d'accroissement en 0 de la fonction m'indique : racine carrée de h
La limite, lorsque h tend vers 0, serait donc 0.
Ce nombre étant un réel, la fonction serait donc normalement dérivable en 0.

Pourtant je suis persuadé que cette réponse est fausse :
1-La vérification à la calculette m'indique cette fonction n'est pas dérivable en 0.
2-L'allure de la courbe semble révéler l'existence d'un point anguleux en 0 donc pas de tangente en ce point.
3-L'exo du livre est à la fin du chapitre (=problème supposé difficile)

En fait, il semblerait que la fonction soit seulement dérivable à droite en 0.
Mais voila : comment le démontrer mathématiquement ???

Je sais que ce cas a été évoqué dans d'autres sujets mais personne semble vraiment expliquer la démarche pour prouver que la fonction est dérivable à droite en 0.

Le travail est à rendre dans peu de temps et j'aimerai donc avoir vos éclairages au plus vites.
Sauvez moi !!!

Merci d'avance.

amatheur · 30-12-2012 00:38:45

Salut,

Soit [tex]f\left(x\right)=x\sqrt{x}[/tex]
Quel est son domaine de définition ?
Etudie sa continuité puis calcule la limite suivante:
[tex]\lim _{x\mapsto 0^+}=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}[/tex]

Bonne soirée.

Fred · 30-12-2012 08:00:00

J'insiste sur un point de la réponse d'amatheur : Quel est le domaine de définition de ta fonction??????

F.

Paco74 · 30-12-2012 23:00:14

Bonjour,

Un grand merci pour votre aide et désolé pour l'ouverture multiple du sujet : je suis nouveau et ai du mal à manipuler ce forum.

A priori, la fonction est définie pour tout nombre réel x positif (au sens large avec 0 inclus).
Quant à la continuité de la fonction, je crains que cette notion nous est encore inconnu en 1ère S.

Quelle est cette formule amatheur que tu me donnes ? Je ne la connais avec x de cette façon là.

En calculant le taux d'accroissement normal avec h différent de 0, j'obtiens : "racine de h"
Lorsque h tend vers 0, tout tend vers 0 donc limite=0.

Faut-il donc s'arrêter la ?
Vous serez pourtant d'accord avec moi que le raisonnement n'est pas finie : la fonction n'est pas dérivable en 0 tout court, n'est-ce pas ?

Je suis perdu.

Merci pour vos réponses d'érudits encore éveillés à cette heure tardive.

A bientôt.

P-S : je crois qu'un découpage de la fonction pourrait être effectué pour résoudre le problème : u*v
(avec u(x)=x et v(x)=racine de x). Cela peut-il aboutir ?

Fred · 31-12-2012 07:47:17

Paco74 a écrit :

Bonjour,
Un grand merci pour votre aide et désolé pour l'ouverture multiple du sujet : je suis nouveau et ai du mal à manipuler ce forum.
A priori, la fonction est définie pour tout nombre réel x positif (au sens large avec 0 inclus).
Quant à la continuité de la fonction, je crains que cette notion nous est encore inconnu en 1ère S.
Quelle est cette formule amatheur que tu me donnes ? Je ne la connais avec x de cette façon là.
En calculant le taux d'accroissement normal avec h différent de 0, j'obtiens : "racine de h"
Lorsque h tend vers 0, tout tend vers 0 donc limite=0.
Faut-il donc s'arrêter la ?
Vous serez pourtant d'accord avec moi que le raisonnement n'est pas finie : la fonction n'est pas dérivable en 0 tout court, n'est-ce pas ?

Pour moi, il faut s'arrêter là. Par définition du nombre dérivé en un point (comme limite du taux d'accroissement)
ta fonction est dérivable en 0. Parfois, on dit qu'elle est dérivable à droite en 0, pour insister
sur le fait qu'elle n'est pas définie à gauche de 0.

Fred.

Paco74 · 31-12-2012 10:40:47

Pourtant on peut-etre certain que cette fonction n'est pas dérivable en 0.

Comment peut-on expliquer l'allure de la courbe qui admet un point anguleux au point d'abscisse 0 est n'est donc pas bien arrondi à ce niveau là ?
Comment expliquer le "Maths error" de la calculette ?

Une dérivabilité à droite se prouve avec 2 limites distinctes. Pourquoi ne pas utiliser la fonction uv tel que u(x)=x et v(x)=racine de x
u est dérivable sur R donc sur ]0;+infini[ et v est dérivable sur ]0;+infini[ aussi.

On en déduit que la fonction uv (celle qui nous intéresse ) est aussi dérivable sur cet intervalle et (uv)'=u'v+uv'
Or l'on sait (ces fonctions étant usuelles) que u'(x)=1 et v'(x)= 1/(2*racine de x).
On trouve donc après calcul que (uv)'=u'v+uv'=3/(2 racine de x)

Ainsi si x=0, on ne peut pas calculer l'image de x puisqu'on a un dénominateur égal à 0.
La fonction ne serait donc pas dérivable en 0.

Qu'est ce que vous en dîtes ?

Merci pour vos réponses.

P-S : Qu'est ce que la continuité d'une fonction en 1ère S ?

jpp · 31-12-2012 11:11:25

salut.

la dérivée de [tex]y = x\sqrt{x}[/tex] se calcule comme ça: [tex]y' =(uv)' = u'v + uv' = \sqrt{x} + x\times\frac{1}{2\sqrt{x}}= \frac{3\sqrt{x}}{2}[/tex]

elle est donc définie pour x=0

yoshi · 31-12-2012 12:49:14

Bonjour,

P-S : Qu'est ce que la continuité d'une fonction en 1ère S ?

Si I est un intervalle et [tex]a \in I[/tex], on dit qu'une fonction est continue en a si :
[tex]\lim\limits_{x \mapsto a}f(x) = f(a)[/tex]
Et la fonction est continue sur cet intervalle si elle est continue en tout [tex] a \in I[/tex]...

Rien de bien original donc...

N-B Ce n'est pas parce qu'une fonction est définie sur un intervalle qu'elle est forcément continue en cet intervalle.
Contre exemple : la fonction partie entière.

Si une fonction est dérivable en un point, elle est forcément continue en ce point. L'inverse n'est pas toujours vrai...

@+

Dernière modification par yoshi (31-12-2012 17:06:38)

Paco74 · 31-12-2012 15:56:41

O.K. pour vous la fonction est dérivable en 0.

Alors sérieusement, comment expliquer vous la réponse de la calculette, l'allure de la courbe et le fait aussi que l'on sache que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 donc à priori aussi cette fonction ?

Elle est dérivable en O ou seulement à droite ou rien du tout et POURQUOI ?

Personne ne pourrait faire la démonstration complète pour mettre tout au clair ?

Merci.

amatheur · 31-12-2012 16:15:51

salut

Paco74 a écrit :

O.K. pour vous la fonction est dérivable en 0.
Alors sérieusement, comment expliquer ....

vous trouvez que ce qui a été dit jusqu'à maintenant n'est pas du sérieux!!
c'est bien d’être critique vis-à-vis des démonstrations, mais cela ne se fait pas en regardant ce que tu crois percevoir dans la calculette...
pour résumer ce qui a été dit et démontré sur ce post:
f est définit sur [tex]{\mathbb{R}}^{\mathbb{+}}[/tex]
f est continue à droite en [tex]{x}_{0}=0[/tex]
f est dérivable à droite en [tex]{x}_{0}=0[/tex]
j’espère que c'est clair maintenant
@+
@yoshi: une petite faute d'ortho s'est glissée sur ton dérnier post au niveau de la limite.

freddy · 31-12-2012 16:57:19

Paco74 a écrit :

O.K. pour vous la fonction est dérivable en 0.
Alors sérieusement, comment expliquer vous la réponse de la calculette, l'allure de la courbe et le fait aussi que l'on sache que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 donc à priori aussi cette fonction ?
Elle est dérivable en O ou seulement à droite ou rien du tout et POURQUOI ?
Personne ne pourrait faire la démonstration complète pour mettre tout au clair ?
Merci.

Salut mon gars,

t'es qui pour parler comme ça ? Un prof, un étudiant qui se prépare à être prof, un élève de quelle classe ?

Je pense que tu n'as pas bien compris les réponses données et je pressens que tu cherches à nous faire faire un job qui n'est pas de notre ressort. Donc soit tu réfléchis, soit tu vas poser tes questions insistantes sur un autre site ? D'accord avec moi ?

Pour finir, fais gaffe avec les calculatrices, ce n'est pas grâce à elles qu'on a pu aller sur la Lune !

Le bonjour chez toi !

PS : tu n'as pas que la fonction racine carrée, tu as un produit [tex]x\sqrt{x}[/tex]. C'est ça qui fait toute la différence.

Dernière modification par freddy (31-12-2012 17:14:57)

Paco74 · 31-12-2012 18:24:36

O.K. ca marche .

Quand je disais sérieusement, j'ai jamais mis en doute vos compétences sur le sujet, vous inquiétez pas et je voulais pas vous snober.

Très bien , alors si j'ai bien compris, pour étudier la dérivabilité de la fonction en 0, je procède ainsi :

1-Je précise que la fonction est bien définie sur R+.
2-Je calcule le taux d'accroissement tout bête pour tout h différent de 0 : j'obtiens racine de h.
3-J'en déduis que la limite vaut 0.
4-0 est un réel donc la fonction est bien dérivable en 0.
5-Comme la fonction n'est pas définie à gauche de 0, j'en déduis que la fonction est dérivable en 0 à droite seulement.

Voilà, j'ai juste pas très bien compris pourquoi on passait de l'étape 4 à 5 hop comme cela sans vraiment justifier.

A part cela, tout vous semble correct ? Ma professeur de maths est très très rigoureuse donc si il manque, selon vous, le moindre détail dans la démonstration , merci de m'en faire part :D

Merci de votre aide.

P-S : Du coup, on oublie la méthode de jpp un peu plus haut ?

freddy · 31-12-2012 18:40:59

Paco74 a écrit :

O.K. ca marche .
Quand je disais sérieusement, j'ai jamais mis en doute vos compétences sur le sujet, vous inquiétez pas et je voulais pas vous snober.
Très bien , alors si j'ai bien compris, pour étudier la dérivabilité de la fonction en 0, je procède ainsi :
1-Je précise que la fonction est bien définie sur R+.
2-Je calcule le taux d'accroissement tout bête pour tout h différent de 0 : j'obtiens racine de h.
3-J'en déduis que la limite vaut 0.
4-0 est un réel donc la fonction est bien dérivable en 0.
5-Comme la fonction n'est pas définie à gauche de 0, j'en déduis que la fonction est dérivable en 0 à droite seulement.
Voilà, j'ai juste pas très bien compris pourquoi on passait de l'étape 4 à 5 hop comme cela sans vraiment justifier.
A part cela, tout vous semble correct ? Ma professeur de maths est très très rigoureuse donc si il manque, selon vous, le moindre détail dans la démonstration , merci de m'en faire part :D
Merci de votre aide.
P-S : Du coup, on oublie la méthode de jpp un peu plus haut ?

Re,

tu l'as dit toi-même, car la fonction dérivée n'est pas définie à gauche de 0 (car à gauche de 0, les valeurs sont négatives !!!)

Dernière modification par freddy (31-12-2012 18:41:24)

totomm · 01-01-2013 10:32:00

Bonjour,

Meilleurs vœux à toutes et tous pour cette nouvelle année 2013

@paco74 : qui ne semble toujours pas satisfait...

en reprenant au post #1 a écrit :

personne ne semble vraiment expliquer la démarche pour prouver que la fonction est dérivable à droite en 0.

Un bon argument est : La dérivée en [tex]x=0\ de\ f(x)=x\sqrt{x}[/tex], définie seulement si x positif ou nul,
est la limite de [tex]f^{'}(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}[/tex] quand x tend vers 0 par valeurs positives.
Question : Avez-vous appris comment dériver simplement [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] ?

Cordialement

Dernière modification par totomm (01-01-2013 10:32:56)

yoshi · 01-01-2013 10:40:11

Bonjour,

Meilleurs vœux à tous...

3-J'en déduis que la limite vaut 0.
4-0 est un réel donc la fonction est bien dérivable en 0.
5-Comme la fonction n'est pas définie à gauche de 0, j'en déduis que la fonction est dérivable en 0 à droite seulement.

Enoncé comme cela, ça interpelle...
Je pense que l'affirmation 3. est légèrement "elliptique".
En effet la limite est 0... dans le domaine de définition [0 ; +oo[ et le problème est que est une borne :
[tex]x \mapsto 0^+[/tex] est valide mais [tex]x \mapsto 0^-[/tex] ne l'est pas.
Ce qui conduit à l'affirmation 4. - abusive - que tu corriges seulement en 5.

Mais il n'empêche que la dérivée en 0 existe et vaut 0 en tant que limite calculée par amatheur au post #2 qui avait bien fait le distinguo ...
Le Maths Error de la calculatrice ? Bof, c'est juste un problème de programmation : il ne faut pas avoir une confiance aveugle dans les machines...
Le logiciel de calcul formel WxMaxima (libre et gratuit) donne bien 0 comme dérivée en 0 et 0 comme limite de [tex]x\sqrt x[/tex] en 0...

@+

[EDIT]
Pas assez rapide... ou trop bavard !

Dernière modification par yoshi (01-01-2013 10:44:17)

Paco74 · 01-01-2013 14:46:01

Bonne année à tous.

Me voici proche de la solution mais :

-Totomm, j'ai aussi trouvé cette fonction dérivée de f : (3/2)*racine de h. Mais est-ce nécessaire et que veux-tu dire par la question d'après sur la fonction racine carrée ?

-Yoshi, je n'ai pas très bien compris ce que tu veux dire avec la borne. On peut tendre vers un 0 positif et vers un 0 négatif ?
Et puis quand tu dis que x tend vers 0, c'est pas plûtot h non ? puisqu'on parle de taux d'accroissement qui est égal à racine de h.

Ainsi j'ai peut-être trouvé une façon pour vous le démontrer :

1-Je précise que la fonction est bien définie sur R+.

2-Je calcule le taux d'accroissement tout bête pour tout h différent de 0 : j'obtiens racine de h.

3-J'en déduis que si h est positif, lorsqu'il tend vers 0, la limite est 0 mais si h est négatif,lorsqu'il tend vers 0, la limite est inexistante.

4-On obtiens 2 limites différentes (une égale à 0 et l'autre inexistante) donc la fonction n'est pas dérivable en 0 (tout court).

5-Comme la fonction n'est pas définie à gauche de 0 avec h négatif, j'en déduis que la fonction est dérivable en 0 à droite seulement En effet, si h est positif, lorsqu'il tend vers 0 ,la limite vaut 0 est 0 est un réel, donc la fonction est bien dérivable en 0 à droite.

Donc à priori, pas besoin de passer par la fonction dérivée de Totomm pour notre raisonnement.

Avis aux critiques :D

Merci pour vos réponses.

freddy · 01-01-2013 16:04:43

Salut,
pour moi, c'est OK !

yoshi · 01-01-2013 16:34:30

Salut,

Pour moi, et nombre de ceux de mon âge, [tex]x \mapsto 0^+[/tex] signifie x tend vers 0 par valeurs positives...

4-On obtiens 2 limites différentes (une égale à 0 et l'autre inexistante) donc la fonction n'est pas dérivable en 0 (tout court).

1. Tu ne peux pas écrire qu'il y a deux limites dont une inexistante : ou elle existe ou elle n'existe pas, c'est l'un ou l'autre...
2. Si, la fonction est dérivable en 0 ! Sa dérivée vaut 0...
Le logiciel WxMaxima nous rejoint...

A te relire plus attentivement, je m'interroge :
[tex]\mathbb{R}^+[/tex] c'est bien [tex][0\;;\;+\infty[[/tex] borne 0 acceptée...
La dérivée, calculée vaut [tex]\frac{3\sqrt x}{2}[/tex]. En 0, le nombre dérivé est 0, non ?
Ta fonction dérivée est bien définie aussi pour 0, non ?
Su tu traces la courbe représentative de f, tu constates bien qu'il y a une demi-tangente horizontale en 0...

En calculant le taux d'accroissement normal avec h différent de 0, j'obtiens : "racine de h"
Lorsque h tend vers 0, tout tend vers 0 donc limite=0.

C'est de ça dont tu parles [tex]\lim\limits_{h\mapsto 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex] ?
Ça, c'est f'(a)...
Avec le f donné, on obtient :
[tex]\lim\limits_{h\mapsto 0} \frac{(a+h)\sqrt{a+h}-a\sqrt a}{h}[/tex]

Et là ton : "tout tend vers 0 donc limite =0 " me gêne aux entournures (c'est quoi tout ?)...
Si h tend vers 0, ta limite tend vers 0/0 soit une forme indéterminée...
Et tu dois lever l'indétermination.

Alors ?

@+

Paco74 · 01-01-2013 16:55:20

Mais non yoshi : regarde si tu calcules f'(0), on obtiens en simplifiant tout : racine de h
Donc lorsque h tend vers 0, tout ce taux d'accroissement racine de h ( c'est ça ce que j'appellais "tout" ) tend vers 0.
La limite est donc 0.

Dans ce cas, yoshi j'ai pas tout compris pour la démonstration :

Dois tu calculer la fonction dérivé (3/2) *racine de x ?
Pourquoi dire que c'est dérivable en 0 tout court si c'est pas dérivable à gauche de 0?
Faut-il calculer seulement le taux d'accroissement avec h est distingué 2 limites ?

Comment t-y prends tu simplement en repreant mes étapes de 1 à 5 ?

Merci d'avance.

Dernière modification par Paco74 (01-01-2013 16:56:11)

yoshi · 01-01-2013 20:07:15

Bonsoir,

Dans son post#5, Fred a écrit :

Pour moi, il faut s'arrêter là. Par définition du nombre dérivé en un point (comme limite du taux d'accroissement)
Ta fonction est dérivable en 0. Parfois, on dit qu'elle est dérivable à droite en 0, pour insister.

Fred, est de bon conseil : il est prof de Fac.

Mais non yoshi : regarde si tu calcules f'(0), on obtiens en simplifiant tout : racine de h

De 2 choses l'une
1. Soit tu décides de calculer le nombre dérivé en 0, en ayant postulé son existence, à partir de : [tex]f'(x)=\frac{3\sqrt x}{2}[/tex].
Et alors, je ne vois pas ce que viens faire le h là-dedans (montre moi, ptêt que j'y comprends rien...),
2. Soit tu décides de calculer la dérivée en 0 comme limite d'un accroissement, mais alors tu n'as pas été clair dans ce que tu faisais et en lecture rapide (obligé !), j'ai zappé ton truc. ...
C'est ça que tu fais : [tex]f'(0)=\lim\limits_{h\mapsto 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} ???[/tex]
Probable à 99%...
Là, d'accord f'(0) est la limite de [tex]\sqrt h[/tex] avec h>=0 quand h tend vers 0, soit 0.
Que tu ne puisses pas prendre h négatif n'empêche pas que la dérivée en 0 existe : c'est 0.
Fred a simplement dit : parfois on dit qu'elle est dérivable à droite en 0, pour insister.
Pour insister sur le fait qu'elle n'est pas définie à gauche de 0... soit avec [tex]\epsilon <0[/tex], sur [tex]0+\epsilon[/tex].

Ce n'est pas une obligation.
Pour moi, à gauche de 0, c'est [tex]0 + \epsilon,\;\epsilon <0[/tex] ce n'est pas 0...

Pour moi, à droite de 0, c'est [tex]0 + \epsilon,\;\epsilon >0[/tex] ce n'est pas 0...

En résumé, 0 est encore une valeur du domaine, tu as tout à fait le droit de calculer le nombre dérivé en 0 comme une limite ; si cette limite existe, tu auras ton nombre dérivé...

Ce que j'ai fait moi :
J'ai voulu montrer l'existence de f'(a) quel que soit [tex]a \in \mathbb{R}^+[/tex], en calculant
[tex]\lim\limits_{h\mapsto 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex]
[tex]\lim_\limits{h\mapsto 0} \frac{(a+h)\sqrt{a+h}-a\sqrt a}{h}= \frac{a\sqrt a-a\sqrt a}{0}[/tex]
C'est bien une forme indéterminée, non ?
Je lève l'indétermination (tu veux voir ?) et je tombe sur [tex]f'(a) = \frac{3\sqrt a}{2}[/tex]
Et de là, je prends a = 0, lequel a appartient bien à [tex]\mathbb{R}^+[/tex], et je trouve f'(0) = 0
Et je retombe sur ce qu'a fait jpp, mais en en ayant prouvé cette limite existe sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex]

Mais tu peux tout aussi bien procéder avec 0 + h avec [tex]h \mapsto 0^+[/tex], c'est plus simple ...

En résumé
Point 1. OK
Point 2. D'accord, si tu précises que ton taux d'accroissement est sur l'intervalle [tex][0\;;\;0+h] \subset \mathbb{R}^+[/tex]
De ce fait, tu as automatiquement h >=0...
Point 3. Tu n'as plus de distinguo à faire tu fais tendre h vers 0, et tu montres comme tu l'as fait que cette limite existe et que donc f'(0) existe...

Et tu laisses courir tes points 4. et 5.

Je me suis dit : on cherche quoi en fait ? Et je suis retourné au post #1.
J'y ai lu : étude de la dérivabilité en 0 de la fonction [tex] x\sqrt x[/tex]
Alors, la réponse est : c'est fait !

A gauche, à droite, comme dit Fred... bof !
Pour ta démo, tu es obligé de préciser que tu restes dans ton domaine de définition (précision du point 2), sinon ce n'est pas valide...

Quel point anguleux ?

@+

Paco74 · 01-01-2013 22:15:30

Très bien : merci yoshi pour cette réponse pour le moins complète.

Je crois avoir définitivement compris.
En fait la fonction est bien dérivable en 0 tout court : elle est dérivable à gauge de 0 car tout simplement, c'est la fonction même qui n'est pas défini sur cet intervalle des réels strictement négatifs.

Il existe donc 2 méthodes différentes:

1-La méthode de jpp qui consiste à calculer la fonction dérivée de f en séparant la fonction f en 2 fonctions u et v c'est à dire. Cette fonction dérivée est (3/2)*racine de x.
Em remplaçant x par 0, on obtient 0 ce qui prouve que la fonction est bien dérivable en 0 (0 étant un réel)

A quoi d'ailleurs sert toute le travail préliminaire que tu as fait yoshi pour prouvé que pour tout a de P+, f'(a) existe, étant donné qu'ici on ne s'intéresse qu' à la dérivabilité de a en 0.

2- La méthode du taux d'accroissement que j'avais aussi envisagé (c'est bien ce que tu as marqué : probabilité 99% ;) ) On le calcule et on obtiens racine de h.
Et c'est là que j'ai juste pas très bien compris ce que tu as rajouté au point 2 : en gros il faut préciser que mon taux d'accroissement, en loccurence racine de h, doit forcément appartenir à R+ ? Pourquoi ?
Et pourquoi tu parle de d'un intervalle [0;0+h] qui appartient à un autre intervalle R+ ?
Enfin qu'entends tu par le distinguo du point 3 ?

Voila et à partir de ça j'en déduis que la fonction est bien dérivable en 0 (à droit ici puisque la fonction n'est définie que sur R+)

Voilà lève ces derniers détails et je crois que ce sera bon;

Merci d'avance.

P-S : Comment lève tu l'indermination dans ta méthode ça m'intéresse ;)

yoshi · 01-01-2013 23:42:21

Bonsoir,

C'est vrai, on ne s'intéresse qu'à la dérivabilité en 0 : ayant pris le train en marche, j'avais un peu perdu de vue ce point, c'est ce que je t'ai précisé.
Je t'ai également dit qu'à la lumière de ceci, mon travail de preuve de l'existence sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex] était plus compliqué.
Je précise maintenant qu'au vu de la problématique posée, c'était même inutile.
Pour moi, un taux d'accroissement se calcule sur un intervalle.

J'ai donc repris ton idée en précisant, toujours pour que le travail soit licite, que cet intervalle était un intervalle de [tex]\mathbb{R}^+[/tex], domaine de définition de la fonction : je n'allais quand même pas m'amuser à calculer un taux d'accroissement sur [tex]\mathbb{R}^-[/tex] domaine où la fonction n'est pas définie...
Au passage, cette façon de poser la chose exclut la possibilité pour h de tendre vers 0 par valeurs négatives.
Je n'ai pas dit que le taux d'accroissement devait appartenir à [tex]\mathbb{R}^+[/tex], ni en gros, ni en dértail.
Une bonne raison : un taux d'accroissement peut bien être positif ou négatif, selon que la fonction est croissante ou décroissante sur l'intervalle considéré.
Ici, en l'occurrence c'est totalement indépendant de [tex]\sqrt x[/tex]...
Donc j'ai dit que l'intervalle sur lequel tu calcules ton taux d'accroissement, doit lui appartenir à [tex]\mathbb{R}^+[/tex].
Pour moi, parler de taux d'accroissement en un point n'a pas de sens : quelle croissance ou décroissance peux-tu observer en un point d'une courbe ? Il y a un point de vocabulaire à vérifier très précisément dans tes bouquins, ton cahier...

Pour le point 3. je n'ai pas dit de faire une distinction entre la limite à gauche et la limite à droite, toi, oui...
Moi j'ai simplement dit que grâce au point 2 la question ne se posait plus, justement.
Comme j'ai dit que je calculais un taux d'accroissement sur le domaine de définition de la fonction (normal, non ?), je sous-entends automatiquement que je vais tendre h vers 0 par valeurs positives...

La fonction est bien dérivable en 0 (à droite ici puisque la fonction n'est définie que sur R+)

Attention, dire ça comme ça peut s'interpréter comme disant : la fonction est dérivable sur R+ puisqu'elle définie sur R+.
Or si c'est bien une condition nécessaire, ce n'est pas une condition suffisante.

Comment lever l'indétermination.
Comme souvent il faut passer par la quantité conjuguée.
[tex]\frac{(a+h)\sqrt{a+h}-a\sqrt a}{h}=\frac{[(a+h)\sqrt{a+h}-a\sqrt a]\times[(a+h)\sqrt{a+h}+a\sqrt a]}{h\times[(a+h)\sqrt{a+h}+a\sqrt a]}[/tex]
Soit :
[tex]\frac{(a+h)\sqrt{a+h}-a\sqrt a}{h}=\frac{(a+h)^2\times(\sqrt{a+h})^2 -a^2(\sqrt a)^2}{h\times[(a+h)\sqrt{a+h}+a\sqrt a]}[/tex]
soit encore (factorisation via l'identité remarquable [tex]a^3-b^3[/tex]) :
[tex]\frac{(a+h)\sqrt{a+h}-a\sqrt a}{h}=\frac{(a+h)^3-a^3}{h\times[(a+h)\sqrt{a+h}+a\sqrt a]}=\frac{(a+h-a)[(a+h)^2+a(a+h)+a^2]}{h\times[(a+h)\sqrt{a+h}+a\sqrt a]}[/tex]
Le a+h-a devient h et je simplifie par h...

Donc :
[tex]\lim_\limits{h \mapsto 0}\frac{(a+h)\sqrt{a+h}-a\sqrt a}{h}=f'(a)=\frac{3a^2}{2a\sqrt a}= \frac{3\sqrt a}{2}[/tex]
J'ai ainsi prouvé l'existence de la dérivée pour tout a >=0...
Tu vois bien alors dans cette formule comme dans celle de jpp, qu'il n'y a aucun souci à prendre a = 0, mais moi, j'ai prouvé (tout à fait inutilement, mais j'aime bien réinventer périodiquement la roue...) que cette dérivée existait bien (inutilement parce que f est un produit de fonctions dérivables)

Bon, après cet exercice de style en LaTeX qui a fait chauffer mon clavier, je m'en vais me jeter dans les bras de Morphée... je n'aiu plus les idées très claires...

@+

freddy · 02-01-2013 08:34:02

@yoshi,

f dérivable comme produit de fonctions dérivables sur[tex] \mathcal{R_+^*}[/tex], oui, pas au point [tex]x = 0[/tex], expliquant les interrogations de notre ami.

Paco74 · 02-01-2013 10:40:52

Oui mais freddy pourquoi tout notre raisonnement a été de dire que la fonction était bien dérivable 0. Il est vrai que si on décompose cette fonction, f est dérivable sur l'intervalle commun de dérivabilité des 2 fonctions (identité et racine carrée) donc sur ]0;+infini[.

Et juste du coup yoshi, qu'est ce qui doit vraiment ( algébriquement) appartenir à R+ : ta taux d'accroissement racine de h ? O+h seulement?
Comment tu rédigerais parfaitement ta précision d'intervalle au point 2 pour dire que l'intervalle sur lequel tu calcules ton taux d'accroissement appartient à R+ ?

Et puis dans ton post 20, j'ai pas très bien compris l'histoire du E positif ou négatif...

Merci d'avance :)

Dernière modification par Paco74 (02-01-2013 10:41:29)

freddy · 02-01-2013 11:07:35

Re,

c'est souvent une des première questions posées à un pb de math relatif à l'étude d'une fonction : soit la fonction [tex]f(x)=x\sqrt{x}[/tex] ; montrez qu'elle est dérivable sur tout son domaine de définition.

Du coup, sur son domaine privé de 0, on démontre la dérivabilité par le théorème du produit de deux fonctions dérivables.

Au point particulier [tex]x=0[/tex], on utilisesouvent la définition du taux de variation et on montre que la limite quand h tend vers[tex] 0^+[/tex] du quotient existe bien. Ce qui achève la démonstration.

Bb

Dernière modification par freddy (02-01-2013 11:14:02)

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#1 29-12-2012 23:20:16

Dérivabilité de la fonction x racine carrée de x en 0

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