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cléopatre

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[Résolu] Divisibilité par 7

Bonjour à tous les matheux,
J'ai un petit problème:
Pour tout n, 7 divise 10^(6k+4) +3
Comment pourrais le prouver. J'ai penser à utiliser le petit théorème de fermat mais j'y arrive pas.
Un peu d'aide?

yoshi

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Re : [Résolu] Divisibilité par 7

Bonsoir,

Et pourquoi pas une petite démonstration par récurrence ?
Si k = 0, alors
[tex]10^{6k+4}+3 = 10^4+3= 10003 = 1429 \times 7[/tex]
On vérifie encore pour k = 1 :
[tex]10^{6k+4}+3 = 10^{10}+3= 10000000003 = 1428571419 \times 7[/tex]
On suppose la propriété vraie pour k = n et on vérifie l'héritage pour k = n+1 :
[tex]10^{6(n+1)+4}+3 =10^{6n+4 + 6}+3[/tex]
Et maintenant, il suffit de vérifier que :
[tex]10^{6n+4 + 6}+3 - (10^{6n+4}+3) [/tex]
est bien un multiple 7.

Ca devrait être suffisant, à condition que, comme je le suppose, le raisonnement par récurrence soit de ton programme...

@+

john

Invité

Re : [Résolu] Divisibilité par 7

Pas mal yoshi... mais avec les mod 7 et quelques calculs de tête, on a :
10 = 3 mod 7
100 = 2 mod 7
1000 = 6 mod 7
10 000 = 4 mod 7
100 000 = 5 mod 7
1 000 000 = 1 mod 7
10^(6k+4) = (10^4).(10^6)^k = (4 mod 7).(1 mod 7)^k = 4 mod 7 (d'où la divisibilité par 7, quel que soit k).
Bye

cléopatre

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Re : [Résolu] Divisibilité par 7

Merci je sui vraiment bête sur ce coup mais l'exos est dans la partie fermat alors je cherchai à l'utiliser... Encore merci et à bientot..

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Divisibilité par 7

Bonjour,

Allez, +1 pour toi John, j'aime bien ta solution aussi : +1 parce que je n'y ai pas pensé, et que j'aurais dû... Mais j'ai sauté sur la première idée, et je ne suis pas allé plus loin !
Je dirais que ta solution est plus "fine" que la mienne, même si je n'ai pas beaucoup de calculs non plus...

@+