Forum de mathématiques - Bibm@th.net

cléopatre

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[Résolu] Nombre premier

Bonjour à tous, j'ai un petit problème.
Soit n appartenant au entier naturel, pour quel valeur de n, n^4 + n^2 + 1 est un nombre premier ?
Un chemin, une voie je demande que sa....

galdinx

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Re : [Résolu] Nombre premier

Salut,
Si tu es sure qu'il n'y a qu'un seul entier comme ca, 1 convient...

Bye

cléopatre

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Re : [Résolu] Nombre premier

Mais je suis pas sure qu'il y ait qu'un seul entier? Je sais bien que un convient mais pour généraliser?

EDIT Galdinx : d'où l'utilité du français :
Tu avais écrit "quel valeur" et j'ai cru qu'il n'y en avait qu'une puisque c'est au singulier...
(volontairement provocateur pour reprendre un terme à la mode...)

Dernière modification par galdinx (10-11-2006 01:12:09)

yoshi

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Re : [Résolu] Nombre premier

Bonsoir Cléopâtre,

J'ai essayé les valeurs de n de 2 à 7 et j'ai cru constater que chaque fois le résultat était le produit de deux nombres premiers ou impairs...
Ca m'a donné l'idée de factoriser :
[tex]n ^4+n^2+1 = n ^4+2n^2+1 - n^2 = (n^2+1)^2 - n^2 = (n^2+n+1)(n^2-n+1)[/tex]
Je pense qu'on devrait tenir là quelque chose, non ?

@+

john

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Re : [Résolu] Nombre premier

Soit n € N, pour quelles valeurs de n, n^4 + n^2 + 1 est-il un nombre premier ?

Petit cours...

Tout nombre entier peut être décomposé de manière unique en un produit de facteurs 1ers.

La particularité d'un nombre premier, c'est qu'il n'a qu'un seul facteur premier, lui-même.

Si n^4 + n^2 + 1 est premier, alors on ne peut pas le mettre sous la forme d'un produit de facteurs.

A l'inverse si n^4 + n^2 + 1 n'est pas premier, on peut le mettre sous la forme d'un produit de facteurs.

On essaie donc de factoriser n^4 + n^2 + 1 ou, ce qui revient au même, de trouver les racines de n^4 + n^2 + 1 = 0. C'est ce qu'on appelle une équation bicarrée, facile à résoudre en posant p=n^2.
p^2 + p + 1 = 0
delta = 1 - 4 = -3 => p^2 + p + 1 = 0 n'a pas de racines réelles et donc pas non plus entières.
Il en est de même de n^4 + n^2 + 1 = 0.

Conclusions
--------------
1) on ne peut pas factoriser n^4 + n^2 + 1
2) n^4 + n^2 + 1 est donc premier quel que soit n € N

PS : Je te conseille d'apprendre tout cela par coeur car ton prof ne sera pas dupe.
Bye

cléopatre

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Re : [Résolu] Nombre premier

John, en disant cela, tu n'est pas d'accord avec Yoshi qui donne une réponse simpa et juste à la question non?
Si n = 2, alors n^4 + n^2 + 1 = 21 et 21 n'est pas premier donc John a faut.
Donc en reprenant Yoshi, je pense que n n'est pas premier pour n²-n+1 différent 1
donc pour n différent de 1, n^4 + n^2 + 1 n'est pas premier.

Dernière modification par cléopatre (09-11-2006 21:22:09)

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Nombre premier

Hey John,

Conclusions
--------------
1) on ne peut pas factoriser n^4 + n^2 + 1

Ben si, la preuve (cf mon premier post) !

2) n^4 + n^2 + 1 est donc premier quel que soit n € N

Faux, désolé !
2^4+2^2+1 = 16+4+1 = 21 = 3 x 7
Quelque chose cloche donc dans ton raisonnement, mais ma migraine m'empêche d'y voir plus clair ce soir ! Demain sera un autre jour !

Sans rancune,

@+

cléopatre

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Re : [Résolu] Nombre premier

Faux car pour n = 1, n^4 + n^2 + 1 = 3 et 3 est premier non?

ybebert

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Re : [Résolu] Nombre premier

Bonsoir à tous,

le polynome n^4 + n^2 + 1 n'a pas de racines (ne s'annule jamais) mais ça ne l'empéche pas d'être factorisable. Et effectivement aucun des facteurs ne peut-etre nul ...
Donc le piége serait dans l'assertion : "le polynome n'ayant pas de racine il n'est pas factorisable".
A méditer en comptant les moutons...
La nuit porte conseils....

john

Invité

Re : [Résolu] Nombre premier

Oh ! Qu'elle est belle celle-ci.
Mes plus plates excuses et dommage yoshi que nos messages se soient croisés, ça m'aurait évité d'écrire une belle... non je n'écrirai pas le mot. J'y regarde de plus près tout de suite.
A+

john

Invité

Re : [Résolu] Nombre premier

Bon, j'ai compris. Vous m'avez tous fait très peur, mais le raisonnement est bon (ouf ! je sauve la face). La morale, c'est qu'il ne faut pas prendre les raccourcis pour résoudre une équation bicarrée.
Je disais donc...
Delta = -3 = (iV3)^2
n1^2 = (-1 + iV3)/2 => n11 = (1 + iV3)/2 et n12 = (-1 - iV3)/2
n2^2 = (-1 + iV3)/2 => n21 = (1 - iV3)/2 et n22 = (-1 + iV3)/2
d'où :
n^4 + n^2 +1 = (n - n11)(n - n12)(n - n21)(n - n22)
et, en associant (n - n11)(n - n21) puis (n - n12)(n - n22) on retombe (heureusement !) sur la factorisation de yoshi sans contestation beaucoup plus élégante.
Les conclusions sont donc ''légèrement'' différentes.
Bye