Forum de mathématiques - Bibm@th.net

CédricO

Invité

intervalle de fluctuation

Bonjour,
Dans un livre de seconde (TRANSMATH SECONDE NOUVEAU PROGRAMME, édition 2010), je lis la synthèse suivante :

" Connaissant la proportion p d'individus dans une population, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%
[p - 1/rac(n) ; p + 1/rac(n) ] permet d'étudier un échantillon donné par rapport à ce caractère.
Si la fréquence observée f du carctère est en dehors de l'intervalle, on "rejette" l'échantillon avec une erreur au seuil de 5%.
Si la fréquence observée f du caractère est dans l'intervalle, on "valide" l'échantillon au seuil de 95%.
Ces résultats signifient que dans 5% environ des cas, la décision prise (rejet ou validation) risque d'être incorrecte."

Je pense qu'il y a des erreurs :
en effte, si f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation, je pense qu'on peut "rejeter " avec un risque d'erreur de 5% mais si f appartient à l'intervalle de fluctuation, je pense qu'on ne peut rien dire (il n'y a rien d'anormal) et encore moins quantifier l'erreur éventuelle.

Exemple :
    1) A un concours de recrutement national pour un emploi administratif, se présentent 1 438 femmes et 704 hommes.
500 personnes sont admises dont  188 hommes.
Pensez-vous que le jury a respecté la parité dans son mode de recrutement ?
    2) L’année suivante, on compte 1356 présentes et 698 présents. Il y a de nouveau 500 reçus dont 341 femmes.
Pensez-vous que le jury a respecté la parité dans son mode de recrutement ?

Solution proposée :
    1)La proportion de femmes parmi les personnes se présentant au concours est de :
p=1438/2142≈0,671
la taille de l'échantillon est supérieure à 25 et la proportion 0,671 est comprise entre 0,2 et 0,8.
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % associé est donc :
[0,671-1/√500  ; 0,671+1/√500  ]≈[0,626 ;0,716 ]

La proportion de femmes parmi les personnes reçues est de :
f=312/500=0,624

On a donc f qui n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation donc on rejette l’hypothèse que le jury ait respecté la parité avec un risque d’erreur de 5 %.

    2) La proportion de femmes parmi les personnes se présentant au concours est de :
p=1356/2054≈0,660
la taille de l'échantillon est supérieure à 25 et la proportion 0,660 est comprise entre 0,2 et 0,8.

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % associé est donc :
[0,66-1/√500  ; 0,66+1/√500  ]≈[0,615 ;0,705 ]

La proportion de femmes parmi les personnes reçues est de :
f=341/500=0,682

On a donc f qui appartient à l'intervalle de fluctuation. On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse que le jury ait respecté la parité. Voilà tout ce qu'on peut dire à mon avis.

Merci de confirmer ou non mon point de vue.
Merci beaucoup d'avance.

Cordialement,

Cédric

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : intervalle de fluctuation

Salut,

oui, l'interprétation est bonne, on parle rarement d'acceptation de l'hypothèse testée (H0), mais bien plutôt du fait qu'on n'a aucune raison de la rejeter.

Mais comprends que c'est "difficile" à expliquer à des élèves de seconde, certains dans le supérieur ne le comprennent jamais !

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : intervalle de fluctuation

SALUT

Salut,

oui, l'interprétation est bonne, on parle rarement d'acceptation de l'hypothèse testée (H0), mais bien plutôt du fait qu'on n'a aucune raison de la rejeter.

Mais comprends que c'est "difficile" à expliquer à des élèves de seconde, certains dans le supérieur ne le comprennent jamais !

et pas que dans le supérieur, beaucoup d'auteurs de papiers dans des revues scientifiques interprètent la nulles hypothèse de cette manière!

Il y a trois sortes de mensonges : les mensonges, les sacrés mensonges et les statistiques!
meme si à mon avis, les stat. n'y sont pour rien!

A+

CédricO

Invité

Re : intervalle de fluctuation

Merci à vous d'avoir confirmé les erreurs du livre.
Cédric

CédricO

Invité

Re : intervalle de fluctuation

Bonjour,
Je voudrais juste traiter un dernier exemple :
un sondage récent sur un échantillon de taille 1876 donne à F.HOLLANDE 54% de chances d'être élu et à N. SARKOSY 46% de chances d'être élu.

La question que je me pose consiste à savoir si on peut finalement le voir sous deux aspects :
PREMIER ASPECT : je pose l'hypothèse H0 : les candidats ont la même proportion "théorique" 0,5 d'être élu, c'est-à-dire p=0,5.
L'intervalle de fluctuation est donc [p-1/√1876 ; p+1/√1876] = [0,47 ; 0,53]
La fréquence pour F.H. d'être élu, (fréquence observée f sur l'échantillon ) vaut 0,54.
Conclusion : je rejette l'hypothèse H0 avec un risque d'erreur de 5%. MAIS EST-CE QUE JE PEUX RAJOUTER naturellement LA PRECISION : F.H. A PLUS DE CHANCES D'ETRE ELU ?

DEUXIEME ASPECT :
Soit f = 0,54 et je pars de l'intervalle de confiance (appelé aussi fourchette de sondage, si je ne me trompe) alors cet intervalle de confiance vaut [0,54 - 1/√1876 ; 0,54 + 1/√1876] = [0,51 ; 0,57].
En gardant la même hypothèse H0 :
p= 0,5 n'appartient pas à l'intervalle de confiance.
Or, je sais que l'intervalle de confiance lié à cet échantillon a 95% de chances de contenir p.
CONCLUSION : je rejette l'hypothèse H0 avec un risque d'erreur de 5%.

RESUME : est -ce que les deux aspects de raisonnement sont corrects et "symétriques" au niveau de leur finalité ???

MERCI UNE FOIS DE PLUS !
cédric

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : intervalle de fluctuation

Bonjour,

intervalle de fluctuation et intervalle de confiance sont deux estimateurs à buts différents. (voir wikipédia par exemple)
Il vaut mieux éviter de mettre en cause (Post #4 de Cédric) ce qui est dans un livre de l'éducation nationale sans se référer aux définitions et aux études théoriques complètes....

Cordialement

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : intervalle de fluctuation

Bonjour,

intervalle de fluctuation et intervalle de confiance sont deux estimateurs à buts différents. (voir wikipédia par exemple)
Il vaut mieux éviter de mettre en cause (Post #4 de Cédric) ce qui est dans un livre de l'éducation nationale sans se référer aux définitions et aux études théoriques complètes....

Cordialement

Salut,

si tu pouvais être plus explicite (sans copier/coller wiki qui peut contenir des errreurs), l'internaute à l'origine de ce post t'en remercierait sûrement.

A ce propos, tu rappelleras la définition précise d'un estimateur (d'un paramètre ?) et fera la différence avec la théorie de l'estimation par intervalle.

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : intervalle de fluctuation

Bonjour,

Merci professeur pour cette invitation à publier dont vous vous tireriez bien mieux que moi, quasi-profane en la matière (A part quelques suivis occasionnels de contrôles qualité dans la profession dont je suis maintenant retraité...)

J'ai écrit un peu vite : "sont deux estimateurs" au lieu de "concernent" ou " s'appliquent à " : j'en suis tout confus et j'espère que l'internaute du post #4 n'en aura pas été perturbé dans ses connaissances.
J'exprimais juste une réticence à accepter une mise en cause qui m'apparaissait trop lapidaire et sur laquelle vous auriez pu vous-même réagir (par exemple : en donnant une bonne interprétation du texte incriminé).

Cordialement

CédricO

Invité

Re : intervalle de fluctuation

Bonjour,
Merci beaucoup à Monsieur Freddy pour sons sens aigu de la précision et à monsieur Totomm pour les rectifications humblement apportées. En effet, j'avais tout juste fait des recherches sur Wikipédia qui ne me semblaient pas intéressantes.
Je suis très sensibles à vos démarches qui confirment la qualité du site.
En vous relisant et après quelques recherches personnelles, je souhaiterais rajouter la chose suivante pour avoir votre avis de spécialiste une fois de plus. En effet, j'ai beaucoup de difficultés à m'approprier le sujet : pardon d'avance pour toutes les redondances ou erreurs répétées pénibles pour vous.
Par rapport à mon post #5, je pense finalement (sans pouvoir le justifier catégoriquement) qu'il faut utiliser dans ce cas l'intervalle de confiance (associé à 54% par exemple) pour établir par exemple que la proportion de partisans de FH était possiblement compris entre 51 et 57% avec un risque d'erreur de 5% (JE NE SUIS PAS SUR DU TOUT DE POUVOIR RAJOUTER CETTE ESTIMATION D'ERREUR) et qu'alors rien n'interdit de penser qu'il aurait été élu ce jour-là.
Et ce que j'entendais par "symétriques" est la chose suivante, en gardant les mêmes notations et le niveau SECONDE :
A PROPOS DE  L'INTERVALLE DE FLUCTUATION :
si la fréquence observée f appartient à l'intervalle de fluctuation, il n'y a pas d'anomalie et on ne peut rien dire de plus.
si f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation, on rejette "l'hypothèse" de départ avec un risque d'erreur de 5%.
L'intervalle de fluctuation contient 95% des fréquences observées donc la probabilité qu'une fréquence observée f appartienne à l'intervalle de fluctuation est égale à 0,95 (au moins).
A PROPOS DE L'INTERVALE DE CONFIANCE :
Il est juste de dire que L'intervalle de confiance (associé à la fréquence observée d'un échantillon) a 95% de chances de contenir la proportion théorique p.
MAIS ON M'A FAIT COMPRENDRE QU'IL NE SERAIT PAS TOUT A FAIT CORRECT DE DIRE QUE "p a 95% DE CHANCES D'ETRE DANS L'INTERVALLE DE CONFIANCE" sont prétexte que l'échantillon est aléatoire,"indépendant de p" et que si par exemple on fait une simulation sur 100 échantillons de même taille auxquels on associe les 100 intervalles de confiance centrés autour des 100 fréquences observées correspondantes, 95% des intervalles de confiance associés contiendraient p.
La probabilité qu'un intervalle de confiance contienne p est 0,95 mais la probabilité que p appartienne à un intervalle de confiance (particulier) n'est pas de 0,95.
Voilà d'après moi ce qui change dans la formulation par rapport aux intervalles de fluctuation où on peut dire que la probabilité que f appartienne à l'intervalle de fluctuation est de 0,95.
MERCI d'avance,
Cédric

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : intervalle de fluctuation

Salut,

je viens de trouver un lien fort intéressant et très utile pour la compréhension de ces sujets délicats :

http://www.apmep.tlse.free.fr/spip/IMG/ … _fluct.pdf

Je reviendrais sur ta question si ce pdf n'est pas assez explicite.

Pour mon ami totomn, qu'il sache que je suis et reste un libre esprit, surtout pas corseté par les textes officiels de l'EN qui, nonosbtant, fait un excellent travail pédagogique. Et toujours à l'attention de mon ami totomn, qu'il n'oublie pas l'exemple génial de ce prof de lettres qui a "piégé" sa classe en créant de fausses informations sur la Toile pour voir comment ses élèves mésusaient d'internet.

Internant est grand, mais Wikipédia n'est pas son prophète ;-)))

@Fred : je n'ai pas retrouvé dans la Bibmath toute la partie statistique inférentielle qu'il y avait avant. Je pense que tu remets tout le site à jour avec le bon code latex. Ai je bien compris ?

Cédric0

Invité

Re : intervalle de fluctuation

Merci!
Je souhaiterais quand même pour être sûr et si vous voulez bien, que vous me donniez votre avis sur mon message #9.
Il n'y a pas d'urgence !
Merci d'avance.
Cédric

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : intervalle de fluctuation

Bonjour,
Je voudrais juste traiter un dernier exemple :

un sondage récent sur un échantillon de taille 1876 donne à F.HOLLANDE 54% de chances d'être élu et à N. SARKOSY 46% de chances d'être élu.

La question que je me pose consiste à savoir si on peut finalement le voir sous deux aspects :

PREMIER ASPECT : je pose l'hypothèse H0 : les candidats ont la même proportion "théorique" 0,5 d'être élu, c'est-à-dire p=0,5.

L'intervalle de fluctuation est donc [p-1/√1876 ; p+1/√1876] = [0,47 ; 0,53]

La fréquence pour F.H. d'être élu, (fréquence observée f sur l'échantillon ) vaut 0,54.

Conclusion : je rejette l'hypothèse H0 avec un risque d'erreur de 5%. MAIS EST-CE QUE JE PEUX RAJOUTER naturellement LA PRECISION : F.H. A PLUS DE CHANCES D'ETRE ELU ?

Non. La seule chose que tu puisses dire est que si tu es certain de p=50 %, alors ton échantillon a mal été construit, que tu as fabriqué un échantillon contenant trop de partisans de FH. Avec un risque d'erreur de 5 %, bien entendu.

Comme tu l'as compris, l'intervalle de fluctuation dit simplement que je ne pourrais jamais fabriquer un échantillon exhausitf de la population (je ne peux pas observer 45 millions de Français en âge de voter par exemple).

Mais si je sais que 15 % de la population est gauchère, je peux fabriquer un échantillon de taille n d'individus dont la proportion de gaucher ne pourra jamais, sauf si n est très grand, ête exactement égale à 15 %, mais comprise dans un intervalle du genre (13,5% - 16,5%] qui m'indiquera que ledit échantillon est bien représentatif de la population des gauchers.

Si le résultat obervé est à l'extérieur de cet intervalle, alors mon échantillon est sur ou sous représentatif de ma population de gaucher, avec une risque d'erreur de 2*2.5 %

DEUXIEME ASPECT :
Soit f = 0,54 et je pars de l'intervalle de confiance (appelé aussi fourchette de sondage, si je ne me trompe) alors cet intervalle de confiance vaut [0,54 - 1/√1876 ; 0,54 + 1/√1876] = [0,51 ; 0,57].

En gardant la même hypothèse H0 : p= 0,5 n'appartient pas à l'intervalle de confiance.

Or, je sais que l'intervalle de confiance lié à cet échantillon a 95% de chances de contenir p.

CONCLUSION : je rejette l'hypothèse H0 avec un risque d'erreur de 5%.

Oui, tu rejettes H0 mais tu en déduis quelques chose de beaucoup plus important dans ce cadre qui est de dire : le "vrai" taux p (résultat final du scrutin) est, au seuil de 5 %, compris entre 51 et 57 %.

Il n'est donc pas inférieur à 50 % et donc FH sera très probablement élu à la majorité d'au moins 50 % plus 1 voix.

C'est comme cela qu'aux élections présidentielles de 1965, la victoire au second tour de CDG contre FM avait été annoncée dès 20 heures, avant même la publication officielle des résultats par le ministère de l'intérieur.

Dernière modification par freddy (03-05-2012 16:35:25)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : intervalle de fluctuation

@Fred : je n'ai pas retrouvé dans la Bibmath toute la partie statistique inférentielle qu'il y avait avant. Je pense que tu remets tout le site à jour avec le bon code latex. Ai je bien compris ?

Salut Freddy,

  Ce n'est pas vraiment lié au latex du site (là, je n'affiche que des images statiques calculées une fois pour toutes chez moi...).
C'est lié à un changement d'ordi (il y a un an déjà!) et à un mauvais transfert de base de données.
J'ai corrigé, normalement : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … b&quoi=503

Fred.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : intervalle de fluctuation

Re,

vu et OK, merci !