Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 02-01-2012 16:09:35
- Cracky
- Membre
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- Messages : 14
Continuité et reccurence
Re bonjour, c'est encore crackerzz j'ai retrouvé le mdp de mon compte ^^
Bon autant pour mon dernier problème j'ai surtout un problème de méthode, la je ne comprend rien. Et vu que c'est un exercice du sujet de l'an dernier c'est ennuyeux ...
Soit f une fonction réel, définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex], continue en 0 telle que : [tex]\forall[/tex] x[tex]\in\mathbb{R}[/tex] f(x)=[tex]f\left(\frac{x}{2}\right)[/tex]. Montrer que pour x0 fixé quelconque dans [tex]\mathbb{R}[/tex], on a [tex]\forall[/tex] n [tex]\in\mathbb{N}[/tex] f(x0)=[tex]f\left(\frac{{x}_{0}}{{2}^{n}}\right)[/tex] par réccurence sur n.
En déduire que f est une fonction constante.
Je ne sais même pas par ou commencer, pouvez vous m'aider s.v.p ?
Merci d'avance !
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#2 02-01-2012 17:41:07
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Continuité et reccurence
Salut,
il faut que tu te "mettes en mouvement" dans ta tête.
Tu as [tex]f(x_0)=f(\frac{x_0}{2})[/tex], puis [tex]f(\frac{x_0}{2})=f(\frac{\frac{x_0}{2}}{2})=f(\frac{x_0}{2\times 2}) [/tex] par définition de la fonction, donc [tex]f(x_0)=f(\frac{x_0}{2^2})[/tex] puis ...
tu vois le "mouvement" ?
Dernière modification par freddy (02-01-2012 17:42:42)
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#3 02-01-2012 19:06:57
- Cracky
- Membre
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- Messages : 14
Re : Continuité et reccurence
Ah oui d'accord je vois ce que tu veux dire et je vois mieux a quoi ressemble la réccurence, et il apparait clairement que f est constante.
Toutefois j'ai du mal a presenter convenablement la preuve par réccurence.
Je peux dire que au rang 0 on a
[tex]f\left(\frac{{x}_{0}}{{2}^{0}}\right)=f\left(\frac{{x}_{0}}{2}\right)[/tex]
Donc au rang n+1
[tex]f\left(\frac{{x}_{0}}{2}\right)=f\left(\frac{\frac{{x}_{0}}{2}}{{2}^{n}}\right)=f\left(\frac{{x}_{0}}{2\times {2}^{n}}\right)=f\left(\frac{{x}_{0}}{{2}^{n+1}}\right)[/tex]
Ca semble suffisant comme rédaction ?
En tout cas merci beaucoup a toi :)
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#6 03-01-2012 15:13:22
- amatheur
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- Messages : 299
Re : Continuité et reccurence
salut.
il faut que tu suive à la lettre la règle d'application du principe de récurrence.
1- il faut que tu prouve que la propriété est vrai pour n=1. ( c'est déjà dans la définition de f(x)!)
2- puis prouvez que si la propriété est vraie pour n [tex]\Rightarrow [/tex] qu'elle est vraie pour n+1.
Dernière modification par amatheur (03-01-2012 15:16:28)
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