Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Alex666

Membre

Inscription : 13-10-2011

Messages : 2

Probléme de calculs (type stat et calculs de fonctions dérivées)

Tout d'abord bonjour, je m'adresse à vous puisque j'ai 02 petits soucis que j'aimerais bien résoudre.
ça commence avec: On considère une fonction f définie et dérivable sur R par:

[tex]f(x) = c+(ax+b)e^{-\frac x 2}[/tex] où a,b et c sont trois réels.
Dans un calcul de dérivée, je sais que la formule type pour
f(x) = (ax+b)^-1/2  on aurait f'(x) = a X 1/2 (ax+b) ... cependant la suite de l'exercice me laisse à prétendre que
f'(x)= [-1/2(ax+b)+a]e^(-x/2) le + a me dérange (il doit me manquer une formule)...

Le deuxième soucis est sous forme de QCM avec: On jette 2 dés parfaitement équilibrés et numérotés de 01 à 06. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d'as obtenus. La variance de X vaut:
a)1/9 ; b)5/18 ; c) 25/18 ; d) 1/18. Je n'arrive pas à faire le rapprochement avec la formule que l'on nous a donnée avec y-y(barre) = x-x(barre).

Vous remerciant par avance de l'aide que vous pourriez m'apporter.

----------------------------------------------------------------------------------------
Post édité par Yoshi pour écriture de la formule en LateX.
Ce n'est pas mieux comme ça (et à ta disposition) ?

Dernière modification par yoshi (17-12-2011 09:06:20)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Probléme de calculs (type stat et calculs de fonctions dérivées)

Salut,

pour la première question, tout vient du fait que [tex](u.e^v)'=u'.e^v+u.v'.e^v[/tex]

Pour la seconde question, il suffit que tu remarques que [tex]X = 0, \;1 \;ou\; 2[/tex], [tex]p_0=\frac{25}{36}[/tex], [tex]p_1=\frac{10}{36}[/tex] et [tex]p_2=\frac{1}{36}[/tex].

ensuite[tex] E(X)=\frac13[/tex] et [tex]V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{5}{18}[/tex]

Bambara

Invité

Re : Probléme de calculs (type stat et calculs de fonctions dérivées)

pour la première question tu derive d'abord c et tu trouve 0
puis tu derive (ax+b) tu trouve a et tu multiplie par exponentielle -X/2 puis tu derive exponentielle -X/2 et tu trouve -1/2exp(-X/2) et tu multiplie par (aX+B)
finalement to obtient 0 + aexp(-x/2) -1/2exp(-x/2)(ax+b)
et tu met exp(-x/2) en facteur
tu as donc [-1/2(ax+b)+a]

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Probléme de calculs (type stat et calculs de fonctions dérivées)

Bonjour,

Bienvenue à bord, Alex au "chiffre de la bête" (cf Apocalypse selon St Jean).

Bon, je vois qu'il faut que je m'en mêle...
La question n'est pas de donner une séquence de résolution (et les réponses) non appuyée sur le cours :
Science sans conscience n'est que ruine de l'âme Rabelais dixit dans Pantagruel.
Donc ta fonction f(x), à l'analyse est une somme de 2 termes U et V :
* Le 1er terme U (= c)  est une constante,
* Le 2e terme  V (= [tex](ax+b)e^{-\frac x 2}[/tex] est un produit contenant la variable x.

f est donc de la forme : f = U + V.
D'après le cours, on a donc f' = U' + V'...
Or U =c, donc U' = 0.
On a donc f' = V'.
Examinons V.
Le produit V est composé de 2 facteurs :
* E(x) = [tex]ax+b[/tex]  ---> sa dérivée est facile à trouver....
* F (x) = [tex]e^{-\frac x 2}[/tex] Notons F'(x) sa dérivée et gardons son calcul pour la fin.
On sait, d'après le cours que la dérivée d'un produit  [tex]E \times F[/tex] est :  [tex](E \times F)' = E'F + EF'[/tex]...
On a donc :
[tex]f'(x) = E'(x)F(x) + E(x)F'(x)[/tex]... (1)
Venons-en à la dérivée de F(x).
F(x) est de la forme e^u dont le cours nous dit que la dérivée est [tex]u'\times e^u[/tex]
Sachant  que [tex]u =-\frac x 2[/tex], tu peux facilement trouver sa dérivée. u' =...

Maintenant après décomposition en opérations élémentaires, tu peux revenir à (1) et effectuer tes remplacements...

Il te reste à finir le travail :
que ce soit dans F(x) ou F'(x), en effet, l'exponentielle  [tex]e^{-\frac x 2}[/tex] se retrouve présente : elle sera donc facteur commun. Mais ceci n'a plus rien à voir avec un calcul de dérivée proprement dit, je ne vais pas t'apprendre que les factorisations apparaissent dès le Collège...

J'espère que ce sera clair et que tu constateras qu'il ne te manquait aucune formule mais qu'il te faut prendre l'habitude de décomposer en opérations de base...

@+

[EDIT]
A la relecture je constate que tu as écrit (donc, j'ai fait un grand discours hors-sujet ?) :

f(x) = (ax+b)^-1/2  on aurait f'(x) = a X 1/2 (ax+b)

Mais là tu zappes le fait que le  f(x) (sans le c)  donné n'est pas [tex](ax+b)^{-\frac 1 2}[/tex] mais [tex](ax+b)\times e^{-\frac 1 2 x}[/tex] ce qui change tout.
Il me semble d'ailleurs que c'est que l'ami freddy a signalé...

Dernière modification par yoshi (17-12-2011 09:44:31)

Alex666

Membre

Inscription : 13-10-2011

Messages : 2

Re : Probléme de calculs (type stat et calculs de fonctions dérivées)

tout deviens plus clair - je vais faire les calculs et merci encore...