Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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La prisonnière sans casquette.

Salut à tous.

A l'intérieur d'une sphère est suspendu par son sommet, au bout d'un fil , un cone droit plein dont le diamètre de base et la hauteur sont égaux et h = d = 100mm
de plus la sphère et le cone ont meme centre de gravité o

Une fourmi sans casquette est prisonnière dans cette sphère et se trouve condamnée à errer indéfiniment sur la paroie intérieure de cette dernière.

Pour rompre la monotonie elle peut lever la tete et ainsi apercevoir le cone sous toutes ses formes.

Le hazard a voulu qu'elle ait 1 chance sur 2 d'apercevoir en son entier l'arete du cone qui se trouve donc etre son cercle de base.

Quelle chance a-t-elle donc de voir la face plane du cone, c'est à dire sa surface de base, quand elle lèvera la tete ?

                                                                     bon courage.

Dernière modification par jpp (11-11-2011 16:25:16)

sahbani

Invité

Re : La prisonnière sans casquette.

la base du cône étant extérieure à la sphère, votre fourmi ne pourra pas l'observer, le cône étant "plein"
Donc, probabilité = 0

jpp

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Re : La prisonnière sans casquette.

Salut.

Non , le cone est bien un solide enfermé dans la sphère avec la fourmi. Et le cone est nullement en contact avec la
sphère.

                                                                             à plus.

AMATHEUR2

Invité

Re : La prisonnière sans casquette.

SALUT TOUT LE MONDE
c'est amatheur, mais qui n'arrive pas à accéder à son compte !!

▼EBAUCHE DE RePONSE

pour qu'elle puisse voire l'arete du cone, la fourmi doit se placer dans une des calottes sphériques suivantes:
-A1 au niveau du pôle supérieur de la sphère centrée par le point de fixation du fil de suspension
-A2 au niveau du pole inférieur de la sphère, en regard de la base du cone, celle ci ne peut etre vue qu'appartir de la zone A2
la resolution du problème est la quantité  [tex]\frac{{A}_{2}}{4\Pi {R}^{2}}[/tex]
J AI établie que  [tex]\rightarrow \,\,{A}_{2}=\frac{3}{2}\Pi {R }^{2}[/tex]
D OU LA PROBABILITE DE VOIRE LA FACE PLANE DU CONE EST DE 3/8
JE DEVELOPERAI LES CALCULES SI jpp approuve ces résultats

jpp

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Re : La prisonnière sans casquette.

Salut à tous.

          @amatheur : ce n'est pas la bonne réponse en ce qui concerne la probabilité.

                                                                                       à plus.

amatheur

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Re : La prisonnière sans casquette.

salut
pourtant mon petit doigt me disait bien que c'est trop facile pour être vrai!
je dois reprendre mes calcules, a plus.

mxig

Invité

Re : La prisonnière sans casquette.

Bonsoir,

je ne comprends pas le morceau de phrase :

d'apercevoir en son entier l'arete du cone qui se trouve donc etre son cercle de base.

jpp

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Re : La prisonnière sans casquette.

re

    @mxig.  l'arete d'un cone _ il n'y en a qu'une _ est le cercle de la base de ce cone.

    la fourmi a une chance sur 2 d'apercevoir ce cercle en son entier.

                                                                                      à plus.

Dernière modification par jpp (14-11-2011 20:04:25)

tibo

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Re : La prisonnière sans casquette.

Salut,

intéressant problème que voilà:
afin de fixer les notations j'ai tenté de le dessiner:

▼début de réflexion

Il est facile de voir que notre sans-culotte voit entièrement l’arête du cône si et seulement si elle se trouve sur [tex]A_1[/tex] ou [tex]A_2[/tex].
Donc en se rappelant que la surface d'une sphère se calcule par la formule [tex]S=4 \pi R^2[/tex]
on obtient [tex]A_1 + A_2 = 2 \pi R^2[/tex]

De plus, on voit également que pour voir la base, il faut et il suffit de se trouver en [tex]A_1[/tex]

Calculons donc la surface de [A_1]
La surface d'une calotte sphérique de hauteur h' et de rayon à la base r' vaut
[tex]A_1= \pi (r'^2 + h'^2)[/tex]

or le centre de gravité d'un cône se trouve sur son axe de symétrie à une distance de [tex]\frac{3}{4}h[/tex] du sommet
donc avec les notations du shema [tex]OH=\frac{h}{4}[/tex]
d'ou [tex]h'=R-\frac{h}{4}[/tex]
et par Pythagore [tex]r' = \sqrt{R^2 - (\frac{h}{4})^2}[/tex]

Donc [tex]A_1 = \pi [R^2 - (\frac{h}{4})^2 + (R - \frac{h}{4})^2] = \pi [R^2 - (\frac{h}{4})^2 + R^2 - \frac{hR}{2} +  (\frac{h}{4})^2] = 2\pi R (R - \frac{h}{4})[/tex]

Il ne reste reste plus qu'à calculer R en calculant la surface de [tex]A_2[/tex] et en l'insérant dans la première équation.
Sauf que là j'ai du mal à exprimer [tex]A_2[/tex] avec les données du problème

totomm

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Re : La prisonnière sans casquette.

Bonjour,

▼Proposition

\(R=h*\frac{4+\sqrt{11}}{2}\)

Probabilité de voir la face plane du cone quand l'arête est vue en entier = \(\frac{7+2\sqrt{11}}{8+2\sqrt{11}}=0.9317\)

jpp

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Re : La prisonnière sans casquette.

Bonsoir.

▼totomm

si tu veux bien corriger ta seconde réponse car la question posée est la proba d'apercevoir
la face plane pour toute position dans la sphère ; autrement c'est ok.

totomm

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Re : La prisonnière sans casquette.

Bonsoir,
J'ai répondu à  :

Le hazard a voulu qu'elle ait 1 chance sur 2 d'apercevoir en son entier l'arete du cone qui se trouve donc etre son cercle de base.
Quelle chance a-t-elle donc de voir la face plane du cone, c'est à dire sa surface de base, quand elle lèvera la tete ?

Pour toute position dans la sphère : c'est juste la moitié de mon résultat

Cordialement

jpp

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Re : La prisonnière sans casquette.

re.
    on est bien d'accord.

karlun

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Re : La prisonnière sans casquette.

Bonsoir,

▼ mon résultat

En partant des calottes sphériques on arrive sans difficulté à trouver le rayon (connaissant la probabilité).

[tex]{R}^{2}-40R+125=0[/tex]

[tex]R1=3.42[/tex]    Impossible vu la taille du cône
[tex]R2=36.583[/tex]  Ok!

La grande calotte sphérique (avec vue sur la face inférieure du cône) = x * surface de la sphère.
[tex]2piR\left(R-2.5\right)=x4\pi{R}^{2}[/tex]
alors,

[tex]x=\frac{R-2.5}{2R}[/tex]

x=0.46583

La probabilité est donc d'une chance sur 2.1467

Amusant petit problème en tout cas; merci.

A+-*/

Dernière modification par karlun (15-11-2011 23:32:42)

jpp

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Re : La prisonnière sans casquette.

Bonsoir tout le monde.

@karlun.  bien  vu , et merci de meme de t'y etre intéressé.

                                                                                   à plus.