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delphine81

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DM maths 1èreS

Bonjour, pourriez vous corriger mes erreurs SVP.
Merci d'avance

Exercice 1:

On considère les points A(-2;1), B(1;2), C(7;4), A'(0;-2), B'(1;-2) et C'(5;-2)

1) Vérifier que les points A, B et C sont alignés, ainsi que les points A', B' et C'.

2)a)Déterminer une équation de la droite (AC ') et une équation de la droite (A'C)

b)En déduire les coordonnées du points E, intersection de (A'C) et (AC ')

3)Procéder de la même façon pour déterminer les coordonnées du points F intersection des droites (BC ') et (B'C)

4)Soit [tex]D\left(\frac{1}{5};-\frac{6}{5}\right)[/tex].Vérifier que D appartient aux droites (AB') et (A'B)

5) Démontrer que les points D, E et F dont alignés.

Exercice 2:

ABCD et BDFE sont deux parallélogrammes. Le point K est défini par [tex]\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{CB}[/tex]

1)Justifier les égalités [tex]\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}[/tex]

2)Démontrer que [tex]\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{AF}[/tex]

3)Que peut-on en déduire pour le quadrilatère KEFA ?

Exercice 3:

Soit A(1;1), B(-2;7) et C(3;3)

1)Déterminer les coordonnées du vecteur[tex] \overrightarrow{AB}[/tex]

2)En déduire les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 1:

1) [tex]\overrightarrow{AB}(1+2;2-1) \Rightarrow \overrightarrow{AB}(3;1)[/tex]

[tex]\overrightarrow{AC}(7+2;4-1) \Rightarrow \overrightarrow{AC}(9;3)[/tex]

[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] sont colinéaires

[tex]\Leftrightarrow 3\times3-9\times1=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 9-9=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] :ceci est vrai

Par conséquent, les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex] \overrightarrow{AC}[/tex] sont colinéaires

Donc les points A, B et C sont alignés.

[tex]\overrightarrow{A'B'}(1-0;-2+2) \Rightarrow \overrightarrow{A'B'}(1;0)[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'C'}(5-0;-2+2) \Rightarrow \overrightarrow{A'C'}(5;0)[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'B'}[/tex] et [tex]\overrightarrow{A'C'}[/tex] sont colinéaires

[tex]\Leftrightarrow 1\times0-5\times0=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] :ceci est vrai

Par conséquent, les vecteurs[tex] \overrightarrow{A'B'}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{A'C'}[/tex] sont colinéaires

Donc les points A', B' et C' sont alignés.

2)a) [tex]\overrightarrow{AC'}(5+2;-2-1)  \Rightarrow \overrightarrow{AC'}(7;-3)[/tex]

[tex]\overrightarrow{AC'}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (AC')

Donc (AC'): [tex]-3x-7y+c=0[/tex]

[tex]A(-2;1)\in(AC') \Leftrightarrow -3\times(-2)-7\times1+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 6-7+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=1[/tex]

Donc (AC'): [tex]-3x-7y+1=0[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'C}(7-0;-4+2)  \Rightarrow \overrightarrow{A'C}(7;6)[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'C}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (A'C)

Donc (A'C): [tex]6x-7y+c=0[/tex]

[tex]A'(0;-2)\in(A'C) \Leftrightarrow 6\times0-7\times(-2)+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=-14[/tex]

Donc (A'C): [tex]6x-7y-14=0[/tex]

b) [tex]E(x;y)=(A'C)\cap (AC') [/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}6x-7y-14=0 \\ -3x-7y+1=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ -3\times \frac{7y+14}{6}-7y+1=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ \frac{-21y-42}{6}-7y+1=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ \frac{-21y-42}{6}-\frac{42y}{6}+1=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ \frac{-63y}{6}-6=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ \frac{-63y}{6}=6\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ -63y=36\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ y=\frac{-4}{7}\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7\times \frac{-4}{7}+14}{6} \\ y=\frac{-4}{7}\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{5}{3} \\ y=\frac{-4}{7}\end{cases}[/tex]

Donc [tex]E(\frac{5}{3}; \frac{-4}{7})[/tex]

3) [tex]\overrightarrow{BC'}(5-1;-2-2)  \Rightarrow \overrightarrow{BC'}(4;-4)[/tex]

[tex]\overrightarrow{BC'}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (BC')

Donc (BC'): [tex]-4x-4y+c=0[/tex]

[tex]B(1;2)\in(BC') \Leftrightarrow -4\times1-4\times2+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=12[/tex]

Donc (BC'): [tex]-4x-4y+12=0[/tex]

[tex]\overrightarrow{B'C}(7-1;4+2)  \Rightarrow \overrightarrow{B'C}(6;6)[/tex]

[tex]\overrightarrow{B'C}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (B'C)

Donc (B'C): [tex]6x-6y+c=0[/tex]

[tex]C(7;4)\in(B'C) \Leftrightarrow 6\times7-6\times4+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 42-24+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=-18[/tex]

Donc (B'C): [tex]6x-6y-18=0[/tex]

[tex]F(x;y)[/tex] lorsque (BC')=(B'C)

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}-4x-4y+12=0 \\ 6x-6y-18=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ 6\times \frac{4y-12}{-4}-6y-18=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ \frac{24y-72}{-4}-6y-18=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ \frac{24y-72}{-4}-\frac{24y}{4}-\frac{72}{4}=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ \frac{-48y}{4}=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ -48y=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ y=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4\times0-12}{-4} \\ y=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=3 \\ y=0\end{cases}[/tex]

Donc F(3;0)

4) [tex]\overrightarrow{AB'}(1+2;-2-1)  \Rightarrow \overrightarrow{AB'}(3;-3)[/tex]

[tex]\overrightarrow{AB'}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (AB')

Donc (AB'): [tex]-3x-3y+c=0[/tex]

[tex]A(-2;1)\in (AB') \Leftrightarrow -3\times(-2)-3\times1+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 6-3+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=-3[/tex]

Donc (AB'): [tex]-3x-3y-3=0[/tex]

[tex]D(\frac{1}{5};\frac{-6}{5}\in (AB')\Leftrightarrow -3\times\frac{1}{5}-3\times\frac{-6}{5}-3=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{-3}{5}+\frac{18}{5}-3=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3-3=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] : ceci est vrai

Donc le point D appartient à la droite (AB')

[tex]\overrightarrow{A'B}(1-0;2+2)  \Rightarrow \overrightarrow{A'B}(1;4)[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'B}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (A'B)

Donc (A'B): [tex]4x-1y+c=0[/tex]

[tex]B(1;2)\in (A'B) \Leftrightarrow 4\times1-1\times2+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4-2+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=-2[/tex]

Donc (A'B): [tex]4x-1y-2=0[/tex]

[tex]D(\frac{1}{5};\frac{-6}{5}\in (A'B)\Leftrightarrow 4\times\frac{1}{5}-1\times\frac{-6}{5}-2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{4}{5}+\frac{6}{5}-2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2-2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] : ceci est vrai

Donc le point D appartient à la droite (A'B)

5)  [tex]\overrightarrow{DE}(\frac{5}{3}-\frac{1}{5};\frac{-4}{7}+\frac{6}{5}) \Rightarrow \overrightarrow{DE}(\frac{22}{15};\frac{22}{35})[/tex]

[tex]\overrightarrow{DF}(3-\frac{1}{5};0+\frac{6}{5}) \Rightarrow \overrightarrow{DF}(\frac{14}{5};\frac{6}{5})[/tex]

[tex]\overrightarrow{DE}[/tex] et [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] sont colinéaires

[tex]\Leftrightarrow \frac{22}{15}\times\frac{6}{5}-\frac{14}{5}\times\frac{22}{35}=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{132}{75}-\frac{308}{175}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] :ceci est vrai

Par conséquent, les vecteurs [tex] \overrightarrow{DE}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] sont colinéaires

Donc les points D, E et F sont alignés.

Exercice 2:

1) On sait qu'un parallélogramme a ses cotés opposés de même longueur.

Donc [tex]\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DF}[/tex] et[tex] \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}[/tex]

2) [tex]\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AD}[/tex]

[tex]\overrightarrow{EK}=2\overrightarrow{BC}[/tex]

Or [tex]\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}[/tex]

donc [tex]\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{EK}[/tex]

3) On peut donc déduire que KEFA est un parallélogramme

Exercice 3:

1)[tex]\overrightarrow{AB}(-2-1;7-1) \Rightarrow \overrightarrow{AB}(-3;6)[/tex]

2) ABCD est un parallélogramme donc [tex]\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}[/tex]

[tex]D(xD;yD)[/tex]

[tex]\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases} x_C-x_D= -3 \\ y_C-y-D=6 \end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases} 3-x_D= -3 \\ 3-y_D=6 \end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases} x_D= 6 \\ y_D=-3 \end{cases}[/tex]

Donc D(6;-3)

PS: Pourriez vous me dire si la rédaction est correcte SVP

Merci d'avance

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM maths 1èreS

Bonjour,

Plusieurs remarques...
1. Je ne sais pas comment est ton prof mais moi je n'ai jamais accepté la conclusion d'abord et la justification après...
J'écrirais donc :
[tex]\overrightarrow{AB}(3\;;\;1)[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}(9\;;\;3)[/tex]
Puisque 3 * 3 - 9 * 1 = 0; alors la condition de colinéarité est vérifiée.
Les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] étant colinéaires, les points A, B et C sont alignés.

2. Equations de droites.
   Ton procédé et tes calculs sont corrects.
   Pour ta "culture", je te signale une autre méthode : 
   [tex]\overrightarrow{AC'}(5-(-2)\;;\;-2-1)[/tex] soit  [tex]\overrightarrow{AC'}(7\;;\;-3)[/tex]
   Soit M(x ; y) un point quelconque de la droite (AC'), on a [tex]\overrightarrow{AM}(x+2\;;\;y-1)[/tex]
   Puisque les vecteurs [tex]\overrightarrow{AC'}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AM}[/tex] sont colinéaires, alors on peut écrire :
   [tex]7(y-1)-(x+2)\times (-3)=0[/tex]
   D'où après développement et réduction :
   [tex](AC')\; 3x+7y-1=0[/tex]
   
3. Points d'intersection. Inter = \cap et non = ---> [tex] E = (AC')\cap(A'C)[/tex]...
    Mais si je reprends ta justification, et que j'écris :
    Dans un parallélogramme ABCD les côtés opposés ont la même longueur, en particulier AB = CD, alors [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}[/tex], comment peux-tu me contredure ?
    J'ai justifié de la même façon que toi...
    La définition que je t'ai rappelée ne fait appel aux longueurs.
   ( En fait ça devrait même s'écrire [tex] \{E\} = (AC')\cap(A'C)[/tex], mais personne ne te chipotera là-dessus...)
   

Résolution du système : elle est juste mais maladroite. Plus tu fais de calculs, plus tu cours de risques : moi, j'aurais utilisé la bonne vieille méthode d'addition (aussi appelée combinaison) : elle s'arrange bien...
   [tex]\begin{cases}3x+7y-1&=0\\6x-7y-14 &=0\end{cases}[/tex]
   On multiplie la première ligne par -2 :
   [tex]\begin{cases}-6x-14y+2&=0\\\quad 6x-7y-14 &=0\end{cases}[/tex]
   On additionne membre à membre et on obtient [tex]-21y -12=0[/tex], soit [tex]y=-\frac{12}{21}=-\frac 4 7[/tex]
   L'avantage, ici, par rapport à la méthode de substitution c'est que je n'ai pas à traîner de dénominateurs...
   Si par la méthode de substitution, il n'y a pas de dénominateurs dans l'expression, alors, ok !

Exercice 2.
Cela résulte directement des définitions de vecteurs égaux vues en 3e.
San autre forme de procès, tu peux écrire : [tex] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Longleftrightarrow ABCD[/tex] est un parallélogramme.
Tu dois encore justifier tes 2 devant les vecteurs.
Sinon :
[tex]\overrightarrow{KE}=  \overrightarrow{KB}+ \overrightarrow{BE}[/tex]
Or on sait que  [tex]\overrightarrow{KB}= \overrightarrow{BC}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{DF}[/tex]
On remplace :
[tex]\overrightarrow{KE}=  -\overrightarrow{CB}+ \overrightarrow{DF}[/tex]
[tex]\overrightarrow{KE}=  \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{DF}[/tex]
Or on sait encore que :
[tex]\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AD}[/tex]
Donc :
[tex]\overrightarrow{KE}=  \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AF}[/tex]

Exo 3, ok. Pas besoin de traîner xD... Ecris simplement Soit : D(x ; y) et utilise ensuite x et y...

@+

delphine81

Membre

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Messages : 35

Re : DM maths 1èreS

Bonjour, tout d'abord merci beaucoup pour votre aide :)
J'aurais encore une question, pensez vous que mon DM est bien rédigé ? Ma prof de maths est très rigoureuse sur la rédaction.

Merci d'avance :)

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : DM maths 1èreS

Bonjour,

  Yoshi qui t'avait répondu a peu de temps pour le moment. Je pense que tu dois te référer à ce qu'il t'a déjà dit, notamment
"moi je n'ai jamais accepté la conclusion d'abord et la justification après...", ou bien "Pas besoin de traîner xD... Ecris simplement Soit : D(x ; y) et utilise ensuite x et y...".
  Sinon, cela a l'air plutôt ok.

Fred.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 402

Re : DM maths 1èreS

Bonjour,

Fred a tout dit.
Relis -attentivement- ce que je t'avais écrit : les remarques concernant la forme y sont.

@+