Forum de mathématiques - Bibm@th.net

liloo_78

Membre

Inscription : 08-10-2011

Messages : 2

L'irrationalité de √2

Bonjour,

Voici un exercice que je ne comprends pas. Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît ?

Merci!
----------
L'irrationalité de √2 semble avoir été découverte par les pythagoriciens. La démonstration proposée ci-dessous est très voisine de celle d'Euclide dans son ouvrage intitulé Eléments.

Commençons par quelques définitions :
- Deux entiers a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1
- Une fraction a/b est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux
- Soit a et b deux entiers naturels. Il existe un unique couple d'entiers naturels (q,r) tel que :
a = b.q + r
0≤ r < b

Démontrons maintenant par quelques lemmes :

1)    Montrer que tout entier naturel p s’écrit sous la forme 2k ou 2k + 1où k est un entier naturel.
2)    a) Expliquer pourquoi si p est pair, alors il existe un nombre entier k tel que p = 2.k
b) Montrer que si p est un nombre pair, alors p² est pair
c) Que peut-on en déduire si p² est impair
      3) a)  Expliquer pourquoi si p est impair, alors il existe un nombre entier k tel que p = 2.k + 1
    b) Montrer que si p est impair, alors p² est impair aussi.
    c) Que peut-on en déduire si est p² pair ?

Résolution du problème de l’irrationalité de √2 (en utilisant les lemmes qu’on a démontrés) :
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe une fraction irréductible p/q telle que √2 = p/q, avec p et q entiers.

    4) a) Expliquer pourquoi alors p² = 2.q²
        b) En déduire que p est pair.
    5) Posons p = 2.p’
        Expliquer pourquoi : q² = 2.p’². En déduire que q est pair.
    6) Où est la contradiction ?
         Quelle conclusion peut-on en tirer ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : L'irrationalité de √2

Bonjour,

Bienvenu(eà sur BibM@th...

T'aider est à la fois facile et très difficile : tu ne nous dis pas ni ce que tu as déjà su faire, ni ce que tu ne sais pas faire...

Alors qu'as-tu déjà fait ?

1. Il y a 2 catégories d'entiers naturels distinctes disons catégorie A et catégorie B : les nombres se suivent dans cet ordre : catégorie A, catégorie B, catégorie A, catégorie B, catégorie A, catégorie B (à cause des restes possibles dans la division par 2) etc...
  Tu passes d'un nombre à son suivant en lui ajoutant 1.
   Catégorie A : 0, 2, 4, 6, 8, 10...
   Catégorie B : 1, 3, 5, 7, 9, 11....
   Sous quelle forme générale peux-tu écrire n'importe quel nombre de la catégorie A  ?
   Tu en déduis alors la forme générale de tout nombre de la catégorie B en ajoutant donc 1 à la "formule" précédente...
2. a) Définition d'un nombre pair ? Pour son écriture pense à la question 1.

...............

Tant que tu n'auras pas répondu à mes questions, je n'irai pas plus loin , sinon je répondrais moi-même à mes propres questions ^_^

@+

liloo_78

Membre

Inscription : 08-10-2011

Messages : 2

Re : L'irrationalité de √2

Merci beaucoup, j'ai compris.
Par contre, dans la question 2)a), ne faudrait-il pas plutôt écrire : "alors il existe un nombre entier naturel k tel que p = 2k" ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : L'irrationalité de √2

B'soir,

Tu as raison, ce serait plus rigoureux...
Mais bon, ton prof a peut-être considéré (à juste titre) qu'il était clair désormais que tu travaillais avec des entiers naturels...

Tout nombre pair étant exactement divisible par 2, alors le quotient entier exact de ce nombre (>=0) existe et est lui aussi >=0.
On appelle donc k ce quotient... D'où p = 2k

2b) On te parle de p², donc à partir de p = 2k, tu calcules p², tu montres que tu peux l'écrire 2k' où k est un entier naturel >=, donc que p².
Rien de bien affolant, donc...

2c)
Si p² est impair, alors p aussi...
  p2 impair, est terminé par 1, 5 ou 9, donc p sa racine carrée est donc aussi impair, puisque le carré d'un nombre pair est pair...

3 a) Comment obtient-on un nombre impair par rapport au nombre pair qui le précède ?

3b) p impair, donc p = 2k+1. Pour p² développe (2k+1)² et regroupe les termes de façon à faire apparaître que p² = 2k'+1

3c) Si p² est paire alors p aussi... Facile à prouver.

4) a) Tu pars de \(\frac p q = \sqrt 2\), tu en tires p en fonction de q et tu élèves au carré...
    b) Déduire d'abord p² pair puis utilise le 3 c)

5) Tu poses p=2p' et tu élèves au carré... Puis  tu te sers de p² = q² où tu remplaces p²
     Conclusion pour q² ? Puis pour q ?

6) Là, résumes ce que tu as déduis sur la nature de p et sur la nature...
    Puis rapproche ça du fait que tu es partie d'une fraction \(\frac p q\) irréductible...
    Conclusion ?

@+