Forum de mathématiques - Bibm@th.net

paco

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Tétraèdre

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide, s'il vous plaît, pour comprendre comment un tétraèdre peut avoir ses arêtes opposées orthogonales deux à deux.

Je viens même de réaliser un patron et je ne vois pas du tout l'orthogonalité.

Merci d'avance.

yoshi

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Re : Tétraèdre

Bonsoir,

Quel tétraèdre ?
Je vais t'en donner un type pour lequel c'est assurément vrai : la moitié d'un pavé droit.
Soit un triangle ABC rectangle en A.
Je trace la perpendiculaire    en A au plan (ABC)...
Sur  [tex](\Delta)[/tex] tu places un point S...
SABC est un tétraèdre qui répond à ta problématique...
(Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à n'importe quelle droite du plan).

Quant à savoir si c'est vrai de n"importe quel tétraèdre, par exemple un tétraèdre régulier, ça ne me paraît pas comme ça à première vue impossible (on peut voir facilement  qu'une droite incluse dans un plan peut être perpendiculaire à une droite de ce plan, sans pour autant lui (=le plan) être perpendiculaire), mais autrement plus "coton" à prouver que dans l'exemple précédent...

Pour ce soir, j'ai déjà réfléchi tout mon soûl, ai animé ma première heure de club d'échecs dans mon ancien Collège, donc mes neurones commencent à manquer de répondant.

Paco, pour voir, prends par exemple une paille (ou un spaghetti) [A'B'], plaque-le sur une arête, par ex [AB], et  déplace-la (ou le dans le plan (ABC) parallèlement à (AB) jusqu'à passer par C, et là examine tes angles [tex]\widehat{SCA'}\;\;et\;\;\widehat{SCB'}[/tex] et tu seras fixé...

Je suis bien sûr que l'un d'entre vous saura répondre sur ce dernier point (avec justification, SVP, pas à l'emporte-pièces, hein ^_^ : c'est surtout la démo qui m'intéresse, moi, paco, je pense aussi)
Bah, sinon, je tâcherai de voir demain avec les accus rechargés...

@+

paco

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Re : Tétraèdre

ok pas de soucis j'attends ton explication de demain et pour mon cas il s'agit du tétraèdre régulier.

Merci.

Dernière modification par paco (06-10-2011 20:38:02)

alain01

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Re : Tétraèdre

Bonjour Paco et Yoshi.
Un tétraèdre ABCD trirectangle en A répond à la question.
La droite (DA) est perpendiculaire aux droites (AB) et (AC) donc orthogonale au plan (ABC).On sait que si une droite est orthogonale à un plan,elle est orthogonale à toute droite de ce plan,en particulier à (BC).Conclusion:
les aretes opposées (AD) et (BC) sont orthogonales.
On réitère la meme démonstration pour les autre aretes.
Sauf erreur ou faute de ma part.

yoshi

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Re : Tétraèdre

Salut,

@alain01...
C'est bien ce que j'avais écrit :

Soit un triangle ABC rectangle en A.
Je trace la perpendiculaire    en A au plan (ABC)...
Sur  (Δ) tu places un point S...
SABC est un tétraèdre qui répond à ta problématique...
(Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à n'importe quelle droite du plan).

Nos sommes d'accord.

Cas du tétraèdre régulier une idée m'est venie durant la nuit qui me laisse un peu insatisfait, je n'ai pas de temps pour y réfléchir davantage pour l'instant.
Soit S_ABC le tétraèdre...
On trace la droite  \((\Delta)\).
1. La première assez visuelle.
    On trace la hauteur [CH] dans le triangle ABC...
    A cause de la construction de  \((\Delta)\), (CH) est perpendiculaire en C à  \((\Delta)\).
    Joignons [SH] (qui est aussi une hauteur) et prenons un point M  qui parcourt [SH] bornes incluses.
    Le segment [MC], lorsque M décrit [SH] prend les positions intermédiaires entre [SC] et [HC].
    Lorsque [MC] est confondu avec [HC], [MC] est perpendiculaire à (AB) mais aussi à.
    Lorsque tu fais parcourir à M le chemin inverse de H vers S, tu vois bien que l'angle que fait [MC] avec \((\Delta)\) reste droit.
    Et donc (AB) est orthogonal à (SC).
2. Une esquisse de démonstration en reprenant la construction ci-dessus.
   J'y ajoute la droite  \((\Delta')\) parallèle à (AB) passant par S.
   Je considère la projection de l'espace sur le pan (ABC) parallèlement à (SH).
   Dans cette projection :
   \(S \mapsto H\)
   \(C \mapsto C\)
   Donc le projeté de la droite (SC) est la droite (HC) et le projeté de  \((\Delta')\) est (AB).
   La projection conserve les angles, donc
   angle de  \((\Delta')\)  avec (SH) =  angle de  (AB) avec (HC).
   Or l'angle de (AB) avec (HC) est droit donc l'angle de  \((\Delta')\)  avec (SH) aussi.
   Et comme  \((\Delta')\) // \((\Delta)\)  l'angle de (SC) avec  \((\Delta)\) également.
   Et donc les arêtes [AB] et [SC] sont orthogonales.

Si je trouve plus satisfaisant, je reposte.

@+

Dernière modification par yoshi (07-10-2011 08:19:22)

alain01

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Re : Tétraèdre

Bonjour Yoshi.
Effectivement,vous avez bien évoqué le cas du tétraèdre trirectangle.
Pour le cas du tétraèdre régulier(Je vous avoue que je n'ai pas réussi à tracer la figure dont vous parlez et donc toutes mes excuses si encore une fois je reproduis votre démonstration)on peut démontrer la propriété
comme cela.
ABCD est un tétraèdre régulier.Considérons le plan médiateur du segment [BC].Ce plan contient nécéssairement les
points A et D car DB=DC et AB=AC.On en déduit que (BC) est orthogonale à (AD),(AD)étant contenue dans le plan médiateur.La démonstration reste valable pour les autres aretes.
Sauf erreur de ma part,je vous salue Yoshi.

yoshi

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Re : Tétraèdre

Ave,

Nan, nan, il n'y avait pas de copyright...
J'avais été surpris (et satisfait de voir que quelqu'un avait eu la même idée) que ton post venant après le mien, tu ne signales pas la conjonction d'idées.
Tu n'avais probablement pas lu mon post...

Je vous avoue que je n'ai pas réussi à tracer la figure dont vous parlez

Aurais-je été si confis que cela de bon matin ?
Alors je re-précise.
J'ai envisagé un tétraèdre régulier "posé" sur le triangle équilatéral ABC servant de base et de sommet S.
Par C, j'ai tracé [tex](\Delta)[/tex] // [tex](AB)[/tex] et par S j'ai tracé \[tex](\Delta')[/tex]) // (AB).
En outre, j'ai tracé la hauteur [CM] du triangle équilatéral ABC et [SM] qui se trouve être une hauteur du triangle équilatéral SAB
Après, j'ai envisagé la projection des points de l'espace sur le plan (ABC) parallèlement à la droite (SM).

Il est vrai que les Projections ont été évacuées des programmes des Collèges et peut-être, en dehors des Projections orthogonales, des prog du Lycée -je vérifierai et viendrai le dire.

Ceci posé

plan médiateur

Clap ! clap ! clap ! Applaudissements nourris !!!
Alain01 a raison, avec 2 mots seulement, il donne la solution la plus simple (je ne pense pas qu'il y ait plus simple encore) : je n'ai pas vu ce plan médiateur, j'aurais dû !

Si je l'avais vu, j'aurais viré mes deux parallèles, je me serais contenté du tétraèdre SABC et de la hauteur [CM].
J'aurais alors dû faire faire une variante de ta démo avec "plan médiateur", comme ci-dessous.

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(On peut même se passer de la notion de plan médiateur pour ne retenir que celle de plan perpendiculaire)
Donc :
ABC étant équilatéral, donc isocèle, [CM], hauteur relative à [AB] dans le triangle ABC, \((CM)\perp (AB)\), est donc aussi médiane et M est le milieu de [AB]

[SM] est donc une médiane du triangle SAB.
SAB étant équilatéral, donc isocèle, (SM), médiane relative à [AB] dans le triangle SAB), est aussi une hauteur de ce triangle  :
\((SM)\perp (AB)\)

Considérons le plan contenant les droites sécantes (SM) et CM) : S et C sont bien 2 points de ce plan.
(AB) est donc perpendiculaire au plan (SCM) puisque perpendiculaire à (SM) et (CM) deux droites de ce plan...

(AB) est donc orthogonale à toute droite du plan (SCM) et en particulier à (SC)

------------------------------

Encore un grand coup de chapeau à alain01 : Maestro, musique s'il vous plaît pour saluer la prestation de l'artiste !

@+

alain01

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Re : Tétraèdre

Bonjour Yoshi.
Je me présente au BAC cette année et je n'ai jamais étudié les projections autre qu'orthogonales.C'est plutot de la géométrie descriptive non?j'utilise ce mot sans savoir grand-chose sur le sujet.
Bon courage à vous.

yoshi

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Re : Tétraèdre

Re,

Les projections "simples" sont le cas général des projections orthogonales : au lieu de projeter perpendiculairement à la cible, tu projettes parallèlement à une direction donnée...
Ça faisait partie du programme de 4e dans le temps avec son corollaire "Parallèles équidistantes"...

La géométrie descriptive ça remonte à mon année de Math Elem en... 1966 : on avait attaqué ça tambour battant, quand était venue l'information que ce ne serait pas au programme du BAC.
Notre prof avait donc laissé tombé sans autre forme de procès au grand soulagement de beaucoup.
Donc dans mes souvenirs (qui se sont quelque peu dilués) on procédait à deux projections (orthogonales, il me semble) sur deux plans perpendiculaires l'un "horizontal", l'autre "vertical" en rabattant ensuite le plan vertical à l'horizontale...

@+

paco

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Re : Tétraèdre

Merci

Hany Hajj Chehade

Invité

Re : Tétraèdre

Bonsoir,
Je voulais savoir comment faire les projections d'un tetraedre sur deux plans perpendiculaires,sachant que l'un de ces plans est parallele a une droite de la base du tetraedre.
Merci d'avance.