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paco

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Calcul de distance ts

Bonjour, j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour cet exercice.

EX:
Soit ABC un triangle équilatéral de coté a.

1) Soit A' le milieu de [BC], et I celui de [AA'].

Calculer la distance BI.

Merci d'avance.

yoshi

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Re : Calcul de distance ts

Salut Paco,

Rien de bien affolant...
Tu devrais savoir faire !
Un triangle équilatéral est isocèle, n'importe comment que tu le regardes...
Or, théorème : Dans un triangle isocèle ABC de base [BC], la médiane issue du sommet principal A est aussi
* la bissectrice de l'angle au sommet,
* la médiatrice et la hauteur relatives à la base.
A' étant le milieu de [BC], [AA'] est bien la médiane relative à [BC] et donc la hauteur. L'angle [tex]\widehat {A'}[/tex] est donc droit (marque-le sur ton dessin).
Maintenant deux applications du théorème de Pythagore (tu connais ?) et tu as ta réponse.

A toi de jouer !
Reviens avec tes résultats...

@+

Hmmm, je crois que tu joues avec les vecteurs ces derniers temps...
Donc tu peux aussi passer par les vecteurs sachant que I est le milieu de [AA'] :
* soit avec la théorème de la médiane dans le triangle ABA' ([AA'] est cette médiane), si tu connais la formule, mais ça t'oblige à connaître la longueur AA',
* soit via la relation [tex]\overrightarrow{BI}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA'}}{2}[/tex] que tu élèves au carré...

Dernière modification par yoshi (27-09-2011 15:23:57)

paco

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Re : Calcul de distance ts

Re,

Donc à partir du théorème de phytagore, je trouve:

[tex]AA'=\,a\,\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Soit  [tex]IA'=\,\frac{AA'}{2}=\,a\,\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]

ET  [tex]BI=\,a\,\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex]

Merci d'avance.

yoshi

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Re : Calcul de distance ts

Salut,

Oui, c'est ça...

Sinon je te proposais:
[tex](\overrightarrow{BI})^2=\left(\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA'}}{2}\right)^2[/tex]

D'où :
[tex]BI^2=\frac{BA^2+BA'^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BA'}}{4}[/tex]

qui équivaut à :
[tex]BI^2=\frac{a^2+a^2/4+2 a \times a/2 \times cos(\pi/3)}{4}[/tex]

et tu arrives à [tex]BI^2=\frac{7a^2}{16}[/tex]

C'est comme tu veux...

@+

PS

Théorème de la médiane :
[tex]BA^2+BA'^2 = 2BI^2+\frac{AA'^2}{2}[/tex]

paco

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Re : Calcul de distance ts

ok merci

yoshi

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Re : Calcul de distance ts

Bonsoir,

Via Pythagore, en enchaînant les calculs littéraux :

[tex]BI^2=BA'^2+A'I^2=BA'^2+\frac{AA'^2}{4}=BA'^2+\frac{BA^2-BA'^2}{4}[/tex]

D'où :

[tex]BI^2=BA'^2+\frac{BA^2-BA'^2}{4}=\frac{BA^2}{4}+\frac{BA^2-\frac{BA^2}{4}}{4}=\frac{7BA^2}{16}[/tex]

j'ai directement la bonne valeur...

@+

paco

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Re : Calcul de distance ts

merci