Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Quille

Membre

Inscription : 21-09-2011

Messages : 3

Problèmes mathématiques

Bonjour à tous,
Je suis en première S et j'ai un problème à résoudre et j'ai du mal.

Un numéro spécial du journal d'un lycée va bientôt paraitre. Il faut déterminer le prix de vente. Les jeunes rédacteurs réalisent une enquête dont les résultats sont les suivants.
Si le journal est vendu 1€ , il s'en vendra 600 exemplaires.
Pour chaque augmentation du prix de 5 centimes, 40 exemplaires de moins seront vendus ; Et inversement , pour chaque baisse de prix de 5 centimes , 40 exemplaires de plus seront vendus.
Sachant que le cout de fabrication d'un exemplaire est de 45 centimes, quel prix de vente choisir pour rendre le bénéfice maximum ? Quel est alors le bénéfice ?

Si quelqu'un pourrait m'aider , ce serait très gentil.

Merci !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Problèmes mathématiques

Bonjour,

  Voici un joli exercice de 1ère S!
Il y a deux difficultés dans cet exercice :
1. La mise en équation du problème : traduire ce problème en mathématiques
2. Résoudre le problème de mathématiques qu'il y a derrière....

Je vais t'aider pour faire la première partie. Si j'ai bien compris, un journal sera vendu (1+0,05x) euros, où x est un entier (qui peut être négatif).
Par exemple, si x=1, cela signifie que l'on vent le journal 1,05 euros.

La première chose à déterminer, c'est le nombre d'exemplaires vendus en fonction de x. Je le note N(x).
C'est en fait assez facile, car l'énoncé te dit qu'il y a une relation affine entre N(x) et x.
Si x=0, N(0)=600, et si x augmente de 1, N(x) diminue de 40. Autrement dit, N(x)=600-40x.

Quel est le bénéfice ensuite? Je le note B(x). C'est le nombre d'exemplaires vendus, multiplié par le prix de vente, moins
le cout de fabrication. Autrement dit,
B(x)=N(x) *(1+0,05x) - 0,45*N(x).

Ce que tu découvres alors, c'est que B(x) est un trinôme du second degré. Et ce que tu dois trouver, c'est la valeur de x qui rend maximum cette fonction.
Et là, tu peux faire appel à ton cours de 1ère S!!!

Reviens nous dire comment tu as déterminé le problème!

Fred.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Problèmes mathématiques

Salut,

on dit "si quelqu'un pouvait m'aider ..." Bon, ce n'est pas grave.

Pour ton sujet, on te donne l'élasticité de la demande au prix de marché, ce qui va te permettre de calculer le couple (prix, quantité) et donc trouver celui qui maximise le bénéfice.

Définition du bénéfice = Recettes - dépenses, soit [tex]B(Q)=P(Q)\times Q - 45\times Q[/tex]

avec Q = quantité produite et vendue.

On voit que le prix de marché dépend de cette même quantité, donc le bénéfice est fonction de la seule variable Q.

Maintenant, construison la fonction Prix (en centimes d'euro).

On a [tex]Q_0 = 600[/tex] si [tex]P_0=100[/tex]; ensuite on sait que [tex]Q-Q_0 = - \frac{40}{5}\times (P-P_0)[/tex] qui est l'interprétation "continue" des informations sur l'élasticité ci dessus.

On obtient la fonction du prix de marché : [tex]P(Q)=100+\frac{600-Q}{8}[/tex]

Donc on déduit l'expression du bénéfice : [tex]B(Q) = Q\times \left(100+\frac{600-Q}{8}\right)-45\ Q[/tex]

te sens tu maintenant de taille pour finir ton exo ?

Salut Fred, désolé, t'as tiré quand j'écrivais. Sympa, on arrive à la même conclusion pédagogique : maintenant, continue ;-)))

Dernière modification par freddy (21-09-2011 13:35:18)

Quille

Membre

Inscription : 21-09-2011

Messages : 3

Re : Problèmes mathématiques

Merci beaucoup de m'avoir éclairé j'étais pas loin mais il me manquait des éléments, je comprends l'équation mais je vais peut-être paraitre ridicule mais je reconnais pas le trinôme dans B(x)=N(x) *(1+0,05x) - 0,45*N(x).

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 402

Re : Problèmes mathématiques

Re,

Bienvenue sur BibM@th...

Bon, il a dû t'échapper que
[tex]N(x)=600-40x[/tex]

et que :

[tex]B(x)=N(x) *(1+0,05x) - 0,45*N(x)[/tex]

On est d'accord ?

Pourquoi alors ne t'est-il pas venu à l'esprit de remplacer dans la formule B(x), la fonction affine N(x) par son expression en fonction de x ?

Moi, j'arrive, je vois deux belles réponses et quelqu'un qui dit ne pas voir le "trinôme du 2nd degré"...
Diable ! Que se passe-t-il donc ?
Je me mets à lire soigneusement l'énoncé, puis de nouveau les réponses et c'est là que je me dis : il n'a pas dû faire le lien entre B(x) et N(x) !
C'est une démarche à retenir : à chaque étape, reprendre l'ensemble de la discussion afin de vérifier qu'on n'a rien laissé passer.

Ça te va ?

@+

Quille

Membre

Inscription : 21-09-2011

Messages : 3

Re : Problèmes mathématiques

Je l'avais remplacé mais j'ai du mal voir en fait. Merci beaucoup :)