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delphine81

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Fonction polynome, 1èreS

Bonjours à tous, voilà je suis bloquer a une question de mon DM pourriez vous m'aidez SVP

Dans un grenier, on souhaite construire une chambre de forme parallélépipédique, de volume maximal.

Voir schéma fin de l'exercice.
Données : OA=OB=5m
AD=10m
OP=OP'
(MP)//(BO)
(Mm)//(AD)
ABCD est un rectangle

1) On note OP= x (en m). Expliquer pourquoi MP=5-x
2) Donner l'expression du volume V(x), en m³, de la chambre ( parallélépipède MM'm'mPP'p'p)
3) Tracer la courbe représentative de la fonction V, sur l'intervalle [0;5]
4) Conjecturer la valeur de x pour laquelle le volume de la chambre est maximale et la valeur de ce maximum, en expliquant le démarche.
5) Pauline: "Je cherche la forme canonique de V(x), et je pourrai conclure";
Clément: " Je factorise V(x)-125, puis je pourrai conclure"
Choisir l'une des deux démarches et démontrer la conjecture.

voilà je bloque sur la question 3

Voici mes réponses pour les 2 premières questions:

1) PA=OA-x
     =5-x
Dans le triangle ABO
les points A,M,B et A,P,o sont alignés
(MP)//(BO)
d'après le théorème de Thalès
MP/BO=AM/AB=AP/AO
MP/5=AM/AB=5-x/5

MP=AP*BO/AO= (5-x)*5/5= 5-x

[MP] mesure 5-x mètres

2)ABCD est un rectangle avec A,M,B et D,m,C alignés
(Mm)//(AD)
donc AD=Mm=10m

O est le milieu de [P'P]
OP=x
P'P= 2*PO
   = 2x

[P'P] mesure 2x mètres

Volume de la chambre: (en mètres)
V(x)=P'P*MP*Mm
    =10*2x*(5-x)
    =20x*(5-x)
    =100x-20x²

Et donc la je devrais passer a la question 3 mais je bloque.
regarder mon cour c'est impossible car je viens de commencer les cours et nous n'avons pas de leçons

Pourriez vous m'aidez SVP

Merci d'avance

yoshi

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Bjour Pauline,

Bienvenue sur BibM@th...

[tex]V(x)=100x-20x^2[/tex]
C'est juste.
Où est le problème ? Le tracé de la courbe...
Tu dois le faire point par point sur l'intervalle [0 ; 5], pour cela tu prends des valeurs de x disons de 0.5 en 0.5 et tu calcules les volumes correspondant en remplaçant x dans V(x) par la valeur choisie.
Par exemple [tex]V(0.5) =100\times 0.5 - 20 \times 0.5^2=50-20\times 0.25 = 50-5=45\; (m^3)[/tex]
Puis tu places les points de coordonnées (x ; V(x))  sur un graphique :

La suite au prochain post si nécessaire, ok ?

@+

delphine81

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Merci beaucoup donc en ayant fait ces calculs, je trouve aussi la réponse de la question 4) ce qui me donne que x=2.5 pour que le volume soit maximal et ce maximum est egale a 125

Et maintenant je bloque pour la question 5, je ne sais pas quelle forme utiliser afin de démontrer cette conjecture
Pourriez vous me donner une piste SVP

Merci d'avance :)

yoshi

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Salut Delphine,

Les deux formes te mènent au même point...
La 2e forme est la plus rapide... pourtant je préfère pour toi la première.
Si une même situation devait se reproduire et qu'on ne te donne pas le -12(, tu serais très ennuyée !

Donc forme canonique.
Rappel : elle est basée sur le fait (ici) que
[tex]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\;\Longleftrightarrow\; a^2-2ab= (a-b)^2-b^2[/tex]

Alors :
[tex]-20x^2+200x = -20(x^2-10x)[/tex]
Et maintenant dans ta parenthèse tu as bien le début [tex]a^2-2ab[/tex] du développement d'une carré d'une différence, tu vas bien faire apparaître 125 et tu étudieras bien [tex]V(x)-125[/tex]...

Maintenant, tu ne dois pas perdre de vue, que tu cherches à prouver que 125 est un maximum atteint pour 2.5.
Donc si tu peux  montrer que
* [tex]V(x)-125= 0[/tex] pour x =2.5
* que  [tex]V(x) < 0[/tex] quel que soit [tex]x \not = 2.5[/tex]
c'est gagné...

Est-ce que j'ai été clair ?

@+

delphine81

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Merci mais je ne comprend pas trop. Vous me dites d'utiliser la  forme canonique mais ensuite vous me dites d'etudier la forme factoriser. comment est ce que je peux faire apparaitre 125 dans mon calcul ?

yoshi

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Re,

Bin, j'attendais que tu écrives la forme canonique : tant que tu ne l'as pas fait tu ne peux pas comprendre.

D'autre part, je t'ai dit aussi que quelle que soit la méthode ça se terminera de la même façon...
Reviens avec ta forma canonique.

@+

delphine81

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Ma forme canonique que j'ai trouver est -20(x²-5x)

yoshi

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Salut,

Non, on obtient la forme canonique ainsi (révision nécessaire) :

[tex]x^2 - 5x = (x-2.5)^2 - 6.25[/tex]

Rappel :

[tex]a^2-2ab = (a-b)^2 -b^2[/tex]

Donc tu obtiens
[tex]V(x)=-20[(x-2.5)^2-6.25]=-20(x-2.5)^2+125[/tex]

Et c'est maintenant que tu dois passer à [tex]V(x)-125[/tex]

parce que [tex]V(x)-125=-20(x-2.5)^2[/tex]

Et tu relis mon post #4 qui te donne maintenant la règle du jeu

@+

[EDIT]
Démonstration théorique de la mise en forme canonique :
je pars du trinôme du 2nd degré [tex]ax^2+bx+c\;\quad\;avec\;\;a \not = 0[/tex]

[tex]ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac b a x+\frac c a\right)[/tex]

[tex]a\left(x^2+\frac b a x+\frac c a\right)=a\left[\left(x^2+\frac b a x\right)+\frac c a\right][/tex]

[tex]x^2+\frac b a x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}[/tex]

Donc

[tex]ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac c a\right][/tex]

Et enfin :
[tex]ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right][/tex]

Ce sera fait en cours et tu devras retenir la formule b²-4ac, désignée par la lettre [tex]\Delta[/tex] et nommée discriminant...

delphine81

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Bonjour :)

Donc merci beaucoup, j'arrive a -20(x-2.5)-6.25 mais je ne comprend pas pourquoi on met le 6.25 au carré ?

yoshi

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Bonjour,

Non, tu n'arrives pas à
-20(x-2.5)-6.25
mais à
-20[(x-2.5)²-6.25]
ce qui n'est pas la même chose.
Et donc après :
V(x)=-20(x-2.5)²-125

Pourquoi 6.25, c'est à dire 2.5² (et non "6.25 au carré") ?

1. Tu as [tex]V(x)=-20x^2+100x[/tex]  qu'il faut mettre sous forme canonique,
2. Je commence par mettre -20 en facteur et  écrire  [tex]V(x) =-20(x^2-5x)[/tex]  (1)
3. Maintenant j'examine seulement : [tex]x^2-5x[/tex]
    De cet examen, vient la conclusion suivante : Tiens, ça ressemble au développement de [tex](x-2.5)^2[/tex] 
4. En effet, [tex](x-2.5)^2 = x^2-5x+6.25[/tex], donc ma parenthèse (1) n'est constituée que des deux premiers termes ci-contre.
    Donc tu peux écrire que [tex]x^2-5x=(x-2.5)^2-6.25[/tex]  (6.25, c'est 2.5²)
5. Donc enfin tu écris que [tex]V(x) =-20(x^2-5x)=-20[(x-2.5)^2-6.25][/tex]  qui est l'écriture de V(x) sous forme canonique
6. Je fais apparaître 125 par un développement partiel : [tex]V(x)=-20(x-2.5)^2+125[/tex]
7. Pourquoi se servir de V(x)-125 ? Parce que l'énoncé l'a dit ? Oui et non...
    * Oui, parce que ça me guide vers la solution (c'est fait pour ça, hein ^_^),
    * Non, parce qu'avec un peu d'habitude, on voit que V(x)-125 est le produit de -20 par un "carré parfait"...
8. Et alors diras-tu ?
    Bin (x - 2.5)² est égal à 0 pour x = 2.5 et strictement positif le reste du temps...
    Donc que pour x = 2.5, V(x) = 0  et pour [tex]x \not = 2.5[/tex]  V(x) < 0 quel que soit x...
    Donc on a bien montré que V(x) passait par un maximum (qui est 125) puisque V(x) -125 <= 0  et donc V(x) <=125 quel que soit x....
   Ce maximum étant atteint pour x = 2.5...

Est-ce que cette fois plus clair ?  Sinon, donne le (ou les) numéro(s) des étapes qui te gênent...
Insiste aussi longtemps que nécessaire !

Maintenant 2 conseils désintéressés (désintéressés, parce que mon avenir est devant moi quand je me retourne...)
1. Tu as vraiment besoin de revoir la mise sous forme canonique : j'ai ce qu'il faut en stock...
    Les dernières années de ma carrière, j'en donnais à faire à la maison à mes 3^e (!), en appelant factorisations inattendues (je ne donnais que des trinômes factorisables grâce au fait qu'on aboutissait toujours sur la forme a² - b²)
2. Tu as intérêt en 1ere S à maîtriser ce genre de calcul  sinon, tu n'as pas fini de "rigoler",
3. Tu as intérêt en 1ere S à être ultra précise et rigoureuse dans tes écrits, même sur un forum : de la qualité, la précision et la rigueur dans l'écriture mathématique dépendra en grande partie ta réussite en Maths...

@+

delphine81

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Re : Fonction polynome, 1èreS

Merci beaucoup pour votre aide. Je sais maintenant faire les formes canoniques