Forum de mathématiques - Bibm@th.net

paco

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L'orthogonalité

Bonjour, j'aurais besoin d’aide s'il vous plaît car je rencontre un petit soucis.

Pour commencer, on sait que le vecteur u est orthogonal au vecteur v si et seulement si : Vecteur u * Vecteur v = 0

Dans mon cours, j'ai écris que sa a pour conséquence que le vecteur nul est orthogonal à tous vecteurs.

Et mon problème c'est que je n'arrive pas à imaginer comment un vecteur nul peut être orthogonal à tous vecteurs.

Merci d'avance.

yoshi

Modo Ferox

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Re : L'orthogonalité

Bonsoir,

Bienvenue sur BibM@th...

Oui, je comprends que ce soit perturbant, c'est normal...
Pour autant, il ne faut pas en faire un fromage.. ^_^...
Il est aussi colinéaire à n'importe quel vecteur, ce qui devrait être tout aussi perturbant...
Mais il ne faut pas ! Tu n'as qu'à prendre comme ça et l'accepter comme conséquence - bizarre - de la définition.
Tu ne peux pas te le représenter (moi non plus et ça ne m'empêche pas de dormir...) ! C'est donc si indispensable ? Pense donc qu'il existe d'autres géométries où la représentation mentale est impossible... Ça n'empêche pas les gens de travailler avec !!!
Donc, fais abstraction de la non-représentation, retiens le fait (utilise-le si nécessaire), et avance...

Te fais donc pas de souci pour ça : c'est un tout petit détail...

Courage !

@+

paco

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Re : L'orthogonalité

ok merci.

paco

Membre

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Re : L'orthogonalité

Bonsoir,

Autre chose, dans un cours je lis que  [tex]\overrightarrow{u}\times \,\overrightarrow{v}=0[/tex]  n'implique pas  [tex]\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}[/tex] ou [tex]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}[/tex]

Et dans un autre cours que:
[tex]\overrightarrow{u}\times \,\overrightarrow{v}=0[/tex] , si l'un au moins des vecteurs est nul.

A quel cours faire confiance?

Merci d'avance.

Fred

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Re : L'orthogonalité

Aux deux, mon neveu. Tu confonds deux choses différentes.

Ce que dit le premier cours, c'est que [tex]\vec u\cdot \vec v=0[/tex], alors on n'a pas toujours
[tex]\vec u=0[/tex] ou [tex]\vec v=0[/tex]. C'est vrai, deux vecteurs peuvent être orthogonaux sans que ni l'un ni l'autre ne soient nuls.

Ce que dit le second cours, c'est que si [tex]\vec u=\vec 0[/tex] ou [tex]\vec v=\vec 0[/tex], alors leur produit scalaire est nul.
Autrement dit, c'est l'implication dans l'autre sens.

Pour résumér, par deux phrases en français :

• si un des deux vecteurs est nul, alors leur produit scalaire est nul.

• le produit scalaire peut être nul même si l'un des deux vecteurs n'est pas nul.

Comprends-tu la différence?

Fred.

Roro

Membre expert

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Re : L'orthogonalité

Bonsoir Paco,

Les deux assertions que tu décrits sont justes toutes les deux... (j'imagine que ce que tu notes [tex]\times[/tex] est un produit scalaire...)

La première :
" [tex]\vec{u}\times\vec{v}=0[/tex] n'implique pas [tex]\vec{u}=\vec{0}[/tex] ou [tex]\vec{u}=\vec{0}[/tex] "
se vérifie en trouvant deux vecteurs non nuls tel que leur produit scalaire soit nul.

La seconde :
" [tex]\vec{u}\times\vec{v}=0[/tex] si l'un au moins des vecteurs est nul "
se vérifie en montrant que [tex]\vec{u}\times \vec{0}=0[/tex] pour tout vecteur [tex]\vec{u}[/tex] et que [tex]\vec{0}\times \vec{v}=0[/tex] pour tout vecteur [tex]\vec{v}[/tex].

Bonne soirée,
Roro.

P.S. Fred m'a devancé...

Fred

Administrateur

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Re : L'orthogonalité

P.S. Fred m'a devancé...

de 42 secondes.... Heureux de te revoir sur le forum, Roro.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

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Re : L'orthogonalité

Bonsoir,

Qui croire ? Les deux, mon commandant...
1. Si [tex]\vec u  =\vec 0[/tex]  ou [tex]\vec v = \vec 0[/tex]  alors [tex]\vec u  \cdot \vec v = 0[/tex]

2. Quant à [tex]\vec u  \cdot \vec v = 0[/tex] cela n'implique pas effectivement que [tex]\vec u  =\vec 0[/tex]  ou [tex]\vec v = \vec 0[/tex]. La preuve si tu choisis 2 vecteurs non nuls perpendiculaires, leur produit scalaire est nul. Je ne sais pas si tu as déjà vu que :
[tex]\vec u  \cdot \vec v = ||\vec u|| \times ||\vec v|| \times \cos(\vec u,\vec v)[/tex] (produit des "longueurs" par le cos)
Dans le cas que je te donne le cos de l'angle vaut 0.

Alors ?

Et bien :
1. En ce qui concerne  le "symbole" (en fait, le terme exact est : quantificateur universel) [tex]\Longrightarrow[/tex], tu dois te mettre dans la tête que tu peux remplacer le "implique" par "entraîne obligatoirement"...
2. En conséquence, il n'est pas "obligatoire" que [tex]\vec u = 0[/tex]  ou [tex]\vec v = \vec 0[/tex] pour que leur produit scalaire soit nul (je t'ai donné un contre-exemple)

Tu dois penser que [tex]\vec u  \cdot \vec v = 0[/tex] dans deux cas :
1. Si [tex]\vec u  =\vec 0[/tex]  ou [tex]\vec v = \vec 0[/tex]
2. Si aucun des deux vecteurs n'est nul, mais qu'ils font entre eux un angle de [tex]\pm \frac\pi 2[/tex] (entre autres, c'est une propriété très pratique pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, ou calculer l'équation d'une droite passant par un point donné et perpendiculaire à une autre droite dont on connaît l'équation ou un vecteur directeur)

Ça te va ?

@+

PS Moi aussi, je me suis fait grillé... Y en a qui tapent plus vite que leur ombre...

Dernière modification par yoshi (07-09-2011 21:16:03)

paco

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Re : L'orthogonalité

ok merci à tous, c'est plus clair maintenant.