Théorème central limite

erichof · 29-08-2011 17:34:00

Bonjour,
Dans les nouveaux programmes de lycée (en première et terminale scientifique), il est question de loi binomiale, loi normale et on fait allusion au théorème central limite.
Quelqu'un pourrait-il m'énoncer clairement et simplement le théorème central limite avec un maximum de vocabulaire et d'outils de lycée et éventuellement me donner un exemple.
Merci beaucoup,
Cordialement,
Cédric

freddy · 29-08-2011 18:25:16

Salut,

au début, imagine une expérience aléatoire du genre : je joue une fois avec un dé ; je le fais rouler et si j'obtiens un nombre pair, on dira que j'ai "gagné", sinon j'ai "perdu".

On note X la variable aléatoire qui peut prendre la valeur 1 (j'ai gagné) avec une probablité [tex]p[/tex] et la valeur 0 (j'ai perdu) avec une probabilité [tex]q=1-p[/tex]. On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p.

On suppose maintenant qu'on joue [tex]n > 1[/tex] fois, et on note [tex]X_i[/tex] le résultat du ième lancer du dé (i étant compris entre 1 et n).

On s'intéresse à la loi des [tex]n+1[/tex] résultats possibles [tex]Y=\sum_{i=1}^n X_i[/tex]. Y peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et n, puisque je peux gagner 0 fois, ou bien 1 fois ou bien ...

On dit que Y suit une loi binômiale de paramètre (n,p). Cette loi permet de déterminer tout de suite la probabilité que [tex]Y=k[/tex].

Une question qui vient rapidement à l'esprit est celle qui consiste à se demander ce qui se passerait si on jouait un nombre de plus en plus grand de fois.

On voit bien qu'il faut faire une hypothèse sur l'indéformalité du dé et l'absence de fatigue du joueur, mais on peut imaginer des mécanismes de tirage au sort infatigable et indéformable, du moins intellectuellement.

Eh bien, si on fait tendre n vers l'infini, on montre, grâce au théorème central limite, que la loi binomiale tend vers la loi normale (ou de Laplace - Gauss) de paramètre [tex]m[/tex] (la "moyenne") et[tex] \sigma[/tex] ("l'écart type").

Cette loi sert dans bon nombre de cas, se manipule assez bien, même si son expression analytique est assez compliquée et fait appel à des techniques de calcul intégral qu'on voit en L1/L2 de maths, stat/proba.

L'immense intérêt de cette loi est le suivant : soit [tex]Z[/tex] une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre m et sigma > 0 et soit [tex]T[/tex] une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre 0 et 1 (loi normale centrée réduite). On montre alors que [tex]Z =m+ \sigma\times T[/tex], ce qui permet de ramener tous les calculs à ceux des valeurs de [tex]T[/tex] qui a été tabulée une fois pour toute !

Dans l'exemple que je donne, elle permet de calculer par exemple la probabilité que [tex] 150 < Y < 278[/tex] par une simple différence de valeur de fonction en deux points distincts.

Si cette loi est très intéressante à connaitre, il convient d'éviter de dire qu'elle sert à tout : on a un bon nombre d'autres lois, moins connues du public qui a fait des études, tout aussi intéressantes pour rendre compte de phénomènes supposés soumis au hasard.

Si tu navigues dans la Bibmath, bibliothèque et section "supérieur", tu y trouveras des exemple d'applications.

Dernière modification par freddy (30-08-2011 11:57:21)

Fred · 29-08-2011 20:09:06

Re-

Je te conseille de jeter un coup d'oeil à cette page, http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … t/tcl.html
en fait à sa deuxième partie (la petite application interactive).
Elle t'explique graphiquement pourquoi, si tu lances plusieurs fois des palets, à la fin, tu obtiens une courbe qui a une forme bien définie.

Fred.

freddy · 30-08-2011 12:00:34

Salut,

c'est vrai qu'il y a des jours où on apprécierait des petits mots du genre "merci beaucoup, ça m'a bien aidé", ou alors " je n'ai pas tout compris, pourrais tu stp développer tel point ? Merci "

En général, je m'en fiche, mais là, j'ai un peu élaboré mon texte et j'en suis un peu chagriné. Tout passe, tout lasse ...

erichof · 30-08-2011 12:27:54

Bonjour,
merci beaucoup à vous Freddy pour vos explications toujours claires et précises tout en s'adaptant au niveau de votre interlocuteur !
Juste une confirmation : dans l'exemple où la loi binomiale de paramètre n et p tend vers la loi normale de paramètre m et sigma, a-t-on bien m = n*p et sigma = racine(n*p*q) ?
Encore infiniment merci !
Cordialement,
Cédric

freddy · 30-08-2011 12:48:29

Re,

oui, [tex]m=np[/tex] et [tex]\sigma=\sqrt{npq}[/tex] et n grand commence à partir de 30 avec[tex] np> 5[/tex] si mes souvenir sont bons. Tu devrais trouver dans la Bibmath.

Bon courage à toi.

Fred · 30-08-2011 20:24:44

Re,

On utilise souvent [tex]np(1-p)\geq 5[/tex] et [tex]n\geq 30[/tex]

Fred.

erichof · 30-08-2011 20:49:25

Bonsoir,
En relisant l'intégralité des réponses, je suis perturbé par la phrase suivante :
la loi binomiale de paramètre (n; p) tend vers la loi normale de paramètre (np; rac(npq) ) quand n tend vers l'infini.
En effet, s'il s'agissait d'une limite , n ne pourrait pas figurer dans la réponse.
Ne faut-il pas se contenter de dire que sous les conditions du message ci-dessus, la loi normale es une approximation de la loi binomiale.
merci,
Cordialement,
Cédric

freddy · 31-08-2011 06:12:40

Salut,

tu as tout à fait raison.

alain01 · 01-09-2011 01:01:47

Bonjour Freddy et Fred.
Un très grand Merci pour les explications.J'ai tout écrit et appris.
Un autre Merci à tous ceux qui ont travaillé au rétablissement du Latex.
Continuez à nous aider S'IL VOUS PLAIT.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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