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ld

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écart-type

Bonjour,
Je recherche une démonstration permettant de connaitre l'écart-type maximum d'un échantillon.
càd calculé avec n-1. n nombres pris  au hasard entre 0 et 10

[tex]\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}{\left({X}_{i}-\bar{X}\right)}^{2}}[/tex]
Exemple:
tirage de nombre entier entre 0 et 10 (alea.entre.bornes(0;10)).

a)si le nombre de valeur est paire alors
ec max= 5*racine(n/(n-1) et 5=(11-1)/2

b)si n impair alors
ec max=5*racine((n+1)/n)

1) Ai-je bon? (si oui merci le tableur bien connu)
2) où trouver une démonstraion ?

Je n'ai personellement rien trouvé sur le net.

PS: Il y a un moment que j'ai quitté les bancs de l'Ecole
Merci, Laurent

Dernière modification par ld (17-06-2011 14:09:41)

freddy

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Re : écart-type

Salut,

pourquoi 5 ?

tu tires n nombres compris entre a et b. L'écart type mesurant la dispersion autour de la moyenne, ce dernier est maximal si tu as obtenu un échantillon de moyenne (a+b)/2 et de valeurs extremes a et b.

Comme faire ?

si n est pair, donc tu as n/2*a et autant de b ; si n est impair, tu dois avoir 1*(a+b)/2, (n-1)/2*a et (n-1)/2*b.

Ensuite, le calcul de l'estimateur de la variance donne pour n impair

[tex]Var(X)=\frac{1}{n-1}\times \sum_1^n \left(X_i-\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{n-1}{n-1}\times \left( \frac{b-a}{2}\right)^2[/tex]

et si n pair :

[tex]Var(X)=\frac{1}{n-1}\times \sum_1^n \left(X_i-\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{n}{n-1}\times \left( \frac{b-a}{2}\right)^2[/tex]

sauf erreur !

Merci qui ?

Dernière modification par freddy (17-06-2011 16:57:00)

ld

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Re : écart-type

Bonjour freddy,
Waou, suis un peu perdu.
Par exemple:
pair 4 nombres
10;10;0;0 donne 5.77 soit 5*racine(4/3) moyenne:5
impair 5 nombres
10;10;5;0;0 donne  ec=5 moyenne:5 ok, mais
10;10;10;0;0 donne ec=5.47 soit 5*racine(6/5)  moyenne:6
de même que 10;10;0;0;0 donne ec=5.47 moyenne:4
et donc je ne pense pas que"L'écart type mesurant la dispersion autour de la moyenne, ce dernier est maximal si tu as obtenu un échantillon de moyenne (a+b)/2 et de valeurs extrêmes a et b.
mais plutôt, si n est impair, l'ec est maximum si on a:
((n+1)/2) a et ((n-1)/2) b.
je vais potasser cela demain avec mes moyens
Laurent

Dernière modification par ld (17-06-2011 17:25:30)

freddy

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Re : écart-type

Salut,

tu as raison, je vais aussi regarder plus attentivement de mon coté !

ld

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Re : écart-type

Bonjour,
Je n'ai pas avancé bcp  je me suis perdu avec koenig: la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.
Tout ce que j'ai pu faire c'est:
La moyenne devient:
[tex]\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(a-b\right)[/tex]      6 dans l'exemple
ou
[tex]\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(a-b\right)[/tex]      4 dans l'exemple
et la somme des Xi
[tex]\left(\frac{n+1}{2}\right)\left(a-b\right)[/tex]      30 dans l'exemple
ou
[tex]\left(\frac{n-1}{2}\right)\left(a-b\right)[/tex]      20 dans l'exemple
En fait, il faut démontrer que:
[tex]\sum^{\frac{n+1}{2}}_{i=1}{\left[\left(a-b\right)-\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(a-b\right)\right]}^{2}[/tex] est égal à:

[tex]\sum^{\frac{n-1}{2}}_{i=1}{\left[\left(a-b\right)-\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(a-b\right)\right]}^{2}[/tex]

ce qui me dépasse ou alors je suis complètement à côté.
Merci
Laurent

freddy

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Re : écart-type

Re,

j'ai repris mes calculs.

Pour n pair, pas de changement.

Pour n impair, la variance est maximale si on a  (n+1)/2 fois a et (n-1)/2 fois b, avec a < b.

la moyenne vaut [tex]\frac{(n+1)a+(n-1)b}{2n}[/tex]

et l'estimateur de la variance est égal à

[tex]\frac{(a-b)^2 (n+1)}{4n}[/tex]

Voilà, je pense que c'est bon.

Dernière modification par freddy (20-06-2011 12:13:53)

freddy

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Re : écart-type

Re,

et sauf erreur, on a la même chose si on obtient (n-1)/2 fois a et (n+1)/2 fois b.

Et quand n tend vers l'infini, l'écart type tend vers le sigma d'une loi uniforme.

Ouf, sauvé !

Dernière modification par freddy (20-06-2011 14:08:04)

ld

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Re : écart-type

Bonjour Freddy,
Pourrais-tu stp démontrer le résultat
[tex]\frac{(a-b)^2 (n+1)}{4n}[/tex] ?
Merci
Laurent

freddy

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Re : écart-type

Salut,

avec plaisir.

On a n impair, [tex]\frac{n+1}{2}a \; et\; \frac{n-1}{2}b[/tex]

La moyenne est égale à [tex]m=\frac1n\left(\frac{n+1}{2}a+\frac{n-1}{2}b\right)[/tex]

La variance est égale à  :

[tex]V=\frac{1}{n-1}\times \left(\frac{n+1}{2}(a-m)^2+\frac{n-1}{2}(b-m)^2\right)[/tex]

[tex]a-m=\frac{n-1}{2n}(a-b)\;et\;b-m=\frac{n+1}{2n}(b-a)[/tex]

En remplaçant dans le calcul de V, on a :

[tex]V=\frac{(n^2-1)(a-b)^2}{2n^2(n-1)}\times \left(\frac{n-1}{4}+\frac{n+1}{4}\right)[/tex]

ce qui achève la démonstration (enfin, le calcul plutôt !...)

C'est OK pour toi ?

Dernière modification par freddy (21-06-2011 16:39:12)