Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pouloardo

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le carré d'un polynome

bonsoir! voila jai un exercice et j'ai vraiment des diffficultés la dessus,

voila : soit p(x)=x*4-2x*3+ax²+bx+4
on me demande de determiner les reels a et b pour que p(x) soit le carré d'un polynome.

de ce que j'ai saisi jai resolu jusqu'a avoir a=-2 et b=-2 aussi
mais si je passe par la methode d'Horner je me rend compte que c faux.
donc je voudrais de plus amples explications.
merci d'avance,

pouloardo!

Fred

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Re : le carré d'un polynome

Salut,

  Si P est le carré d'un polynôme Q, ce polynome s'écrit [tex]Q(x)=x^2+cx+d[/tex].
Si on le met au carré, on trouve
[tex]x^4+2cx^3+(c^2+2d)x^2+2cdx+d^2[/tex]
On veut que ce polynôme soit égal à Q, ce qui donne par identification :
[tex]2c=-2,\ c^2+2d=a,\ 2cd=b,\ d^2=4[/tex]

On a donc nécessairement c=-1, et on a deux possibilités pour d : d=2 ou d=-2.

Dans le premier cas (d=2), on trouve a=1+4=5, et b=-4
Dans le deuxième cas (d=-2), on trouve a=1-4=-3, b=4.

Sauf erreur de calcul!

Fred.

yoshi

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Re : le carré d'un polynome

Bonsoir,

Bienvenue sur BibMath...
Bon, je n'avais entendu parler de la "méthode de Horner", je vais vérifier dans les programmes de TS français, mais je suis presque sûr de ne pas l'y trouver...

J'ai raisonné autrement.
Mon binôme du 2nd degré, dont le carré est p(x), je l'écris : cx²+dx+e
J'ai donc (cx²+dx+e)² = p(x)
Et là je constate que [tex]c^2x^4 = x^4\;\tex{et}\;e^2=4[/tex].
J'en déduis tout de suite que [tex]c=\pm 1\;\tex{et}\e=\pm 2[/tex]
Soit 4 binômes possibles [tex]x^2+dx+2,\;x^2+dx-2,\;\;-x^2+dx+2,\;x^2+dx-2[/tex]
que j'élève au carré...
A cause de cette élévation au carré, je réduis le nombre de 4 à 2...

[tex](x^2+dx+2)^2=x^4+d^2x^2+4+2dx^3+4x^2+4dx=x^4+2dx^3+(d^2+4)x^2+4dx+4[/tex]
D'où je déduis que 2d = -2 et d=-1 ce qui me donne le binôme suivant : x^2-x+2
D'où il vient [tex](x^2-x+2)^2=x^4-2x^3+5x^2-4x+4[/tex] et a = 5, b=-4

[tex](x^2+dx-2)^2=x^4+d^2x^2+4+2dx^3-4x^2-4dx=x^4+2dx^3+(d^2-4)x^2-4dx+4[/tex]
D'où je déduis que 2d = -2 et d=-1 ce qui me donne le binôme suivant : x^2-x-2
D'où il vient [tex](x^2-x-2)^2=x^4-2x^3-3x^2+4x+4[/tex] et a = -3, b=4

@+

[EDIT]Grillé par Fred...

Dernière modification par yoshi (02-06-2011 20:22:29)