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Michael_flux

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Urgent, fdp en probabilité

Bonsoir a tous. J'aimerais démontrer que la loi de Pascal ou loi Binomiale négative est une loi de probabilité.
En fait comment démontrer que la somme de l'expression de la loi de Pascal = 1 ?
Merci de me répondre urgemment.
Bonne soirée

Fred

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Re : Urgent, fdp en probabilité

Bonsoir,

Il y a deux façons pour prouver ceci. La première est analytique.

  Soit X qui suit une loi de Pascal de paramètres r et p. Autrement dit,
[tex]P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{r-k}[/tex]

On commence par écrire :

[tex]\sum_{k\geq r}P(X=k)=\sum_{j\geq 0}\binom{r-1+j}{r-1}p^r(1-p)^{j}=p^r \sum_{j\geq 0}\frac{r\dots (r-1+j)}{j!}(1-p)^j.[/tex]

Reste à calculer cette dernière somme... Ce n'est pas si facile, en général on part de la somme de la série
entière [tex]f_r(x)=\sum_{j\geq 0}\frac{r\dots (r-1+j)}{j!}(1-p)^j,[/tex] on trouve une équation différentielle simple vérifiée par [tex]f_r[/tex], et par intégration, on en déduit que [tex]f_r(x)=(1-x)^{-r}[/tex].

La seconde façon de prouver est probabiliste, et elle est beaucoup plus facile.
Il faut simplement trouver une interprétation probabiliste de cette variable aléatoire.
Supposons qu'on a une pièce de monnaie qu'on lance autant de fois que nécessaire.
La probabilité de tirer pile est égale à p. On note X le nombre de lancers nécessaires
pour obtenir le r-ième pile. Alors X prend ses valeurs dans {r,r+1,...}, et pour [tex]k\geq r[/tex],
calculons P(X=k).
On a X=k si, au cours des k-1 premiers lancers, on a obtenu k-1 fois pile, r-k fois face, et si le r-ième
lancer a donné pile.
On doit choisir, parmi les k-1 premiers lancers, les r-1 qui ont donné pile : il y a [tex]\binom{k-1}{r-1}[/tex]
tels choix. Chacun de ses lancers a une probabilité égale à [tex]p^{k}(1-p)^{r-k}[/tex] de se produire.
On en déduit donc que [tex]P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^{k}(1-p)^{r-k}[/tex]

Et bien sûr, comme X est une variable aléatoire, on a [tex]\sum_{k\geq r}P(X=k)=1[/tex]

Fred.

Michael_flux

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Re : Urgent, fdp en probabilité

Merci Fred, je vais les reprendre . Merci