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#1 08-05-2011 00:20:26
- Picatshou
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b_convergence
bonsoir
tout le monde, on définit la b_convergence d'une série [tex]\sum^{}_{n\geq 0}[/tex] Un
comme suit :
ette série n'est b-convergente que si [tex]S_n= \sum^{n}_ {k=0}U_k[/tex] est b-convergente c à d
[tex]\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{S_n}{n!}z^n[/tex]admet l'infini comme rayon de cv et[tex]\lim_{t \to +\infty} exp(-t)\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{S_n}{n!}t^n[/tex] a une limite complexe finie ,avec on a z et t sont complexes
alors je dois étudier la b cv de la série [tex]\sum^{}_{n\geq 0} a^n[/tex]
et après tout calcul j'ai trouvé que la b-cv n'est assurée que si Re(a)<1 où la b_limite = [tex]\lim_{t \to +\infty}exp(-t) \sum^{+ \infty }_{n=0}\frac{Sn}{n!}t^n = \frac{1}{1-a}[/tex]
et pour Re(a) =1 j'ai trouvé la limite suivante :[tex]\frac{1+ \left|a\right| }{ \left|1-a\right| }[/tex]
dans quelle mesure ma réponse est juste merci d'avance pour ce qui puisse m'aider ! :)
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#3 15-05-2011 21:08:20
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : b_convergence
Bonsoir:
J'ai trouvé la même chose si [tex]Re(a)<1[/tex]
pour l'autre cas traite le cas particulier a=1 (la lmite est infinie)
#4 15-05-2011 21:31:34
- Picatshou
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- Messages : 272
Re : b_convergence
merci beaucoup mohamed, ma question maintenant est comment est ce que je peux montrer que Log(1-t)<=-t avec :t<1
j'ai essayé avec l'étude de la fonction : Log(1-t)+ t je trouve un problème à t=0???!!
merci pour ce qui puisse m'aider
Dernière modification par Picatshou (15-05-2011 21:42:24)
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#7 16-05-2011 20:33:41
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : b_convergence
Bonsoir
Pour t=0 tu as une égalité ! (il suffit de remplacer la variable par 0 pour s'en rendre compte)
On te demande un inégalité aus sens large , donc avoir une égalité en des points particuliers ne nuit en aucun cas au résultat ...
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (16-05-2011 20:37:02)
#8 18-05-2011 10:01:04
- Picatshou
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- Messages : 272
Re : b_convergence
Bonsoir
Pour t=0 tu as une égalité ! (il suffit de remplacer la variable par 0 pour s'en rendre compte)
On te demande un inégalité aus sens large , donc avoir une égalité en des points particuliers ne nuit en aucun cas au résultat ...
bonjour, mais le problème à t=0 est que dans le tableau de variation j'ai trouvé que la fonction s'annule et ne change pas de signe est ce que c'est logique ? merci beaucoup :)
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#9 18-05-2011 10:32:05
Re : b_convergence
Salut,
Oui, c'est logique, 0 étant à la fois positif et négatif.
Maintenant, écoute un peu les remarques de Yoshi, car on a vraiment tendance à se noyer dans tes sujets. Les deux problèmes c'est que :
1/ Tu ne postes pas d'énoncé complet et tu mélange ce que tu as déduit toi-même, ce que tu souhaiterait déduire et le sujet de l'énoncé. Sépare ces trois points et cela ira mieux.
2/ Un problème = un nouveau sujet !!!!!!!
A+
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#10 19-05-2011 15:35:37
- Picatshou
- Membre
- Inscription : 01-11-2009
- Messages : 272
Re : b_convergence
Salut,
Oui, c'est logique, 0 étant à la fois positif et négatif.
A+
je ne comprends pas beaucoup ce que tu viens de dire j'ai trouvé que la fonction s'annule en 0 alors normalement si elle était croissante elle devient décroissante et si elle était décroissante c'est le contraire mais j'ai trouvé qu'elle reste décroissante ???!!!! la fonction est en fait :Log(1-t)+t de dérivée :-t/(1-t) ; à étudier pour t<1 merci d'avance pour les réponses et je suis vraiment désolé pour les bêtises que j'ai fait aux postx :)
Dernière modification par Picatshou (19-05-2011 15:37:11)
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#11 19-05-2011 17:27:35
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : b_convergence
Bonjour,
A propos de ta question (naîve) :
je suis désolé mais qu'elle est ma faute ?
Et bien, thadrien, t'a plus ou moins répondu...
J'ai employé l'expression : "combien de lapins vas-tu encore sortir de ton chapeau ?3. Ce sont les prestigiditateurs qui font ça paraît-il : tout est normal, mais abracadra, 3 coups de baguette magique sur son chapeau, qu'il soulève et hop un lapin en jaillit.
C'était tout à fait inattendu.
Donc toi, qu'as-tu fait ?
Tu poses une question à propos de la b-convergence d'une série : ok ! Pas de problème...
Tu as des réponses, parfait !
Et alors qu'est-ce qui se passe un lapin sort du chapeau, je te cite :
ma question maintenant est comment est ce que je peux montrer que Log(1-t)<=-t avec :t<1
J'ai passé 5 bonnes minutes à chercher le rapport qu'il y avait entre cette nouvelle question et la précédente : je n'en ai pas vu et pourtant tu présentes la chose comme si, oui il y a un rapport.
J'en ai été contrarié, d'autant que je t'avais déjà prévenu de mettre de l'ordre dans ta tête,de donner ton énoncé complet (et non pas d'en donner des morceaux au compte-gouttes) et réfléchir d'abord et d'écrire après...
Tu veux que je te retrouve le post où je t'ai écrit ça ?
J'y avais ajouté que s'il y avait une prochaine fois, je pourrais bien fermer la discussion.
Je ne l'ai pas fait, estime-moi heureux...
----------------------------------------
Ceci éclairci, venons-en maintenant à ce qui te préoccupes vraiment.
Quel est le signe de ta dérivée ?
1. Ta fonction [tex]f(x)=\ln(1-x)+x[/tex] est définie sur [tex]]-\infty\;;\;1[[/tex].
Au passage, c'est ln et plus Log : il y a plus de 20 ans sûrement que le changement s'est produit...
2. [tex]y=1-\frac{1}{1-t}[/tex] admet 1 comme asymptote horizontale et se trouve en dessous en -oo.
Donc en -oo ta dérivée est positive. Comment se comporte-t-elle ailleurs ? C'est une fonction homographique.
Jusqu'à l'autre asymptote x = 1 la courbe représentative reste en dessous de l'asymptote horizontale, cette fois.
Quand t tend vers 1- (vers 1 par valeurs inférieures) ta dérivée tend vers -oo.
Pour 0, c'est à dire au point de coordonnées (0 ; 0) (obtenues avec f), la dérivée est nulle (tangente horizontale).
Avant elle est +, après elle est -.
3. Donc la fonction f que tu as définie est croissante sur ]-oo ; 0[, nulle en 0, décroissante sur ]0 ; 1[
Conclusion (0 ; 0) est un maximum de f et donc [tex]\forall t \in\; ]-\infty\;;\;1[,\; f(t) \leq 0[/tex].
C'est à dire encore [tex]\forall t \in \;]-\infty\;;\;1[,\; \ln(1-t)+t \leq 0[/tex].
Si mon 2. ne ce te convient pas, il est possible d'étudier les variations de g telle que [tex]g(t)=1-\frac{1}{1-t}[/tex].
Etudions sa dérivée : [tex]g'(t)=-\frac{1}{1-t^2}[/tex] : elle est négative quel que soit t
La fonction g est strictement décroissante.
Et comme y=1 est asymptote horizontale en -oo, que la courbe représentative de g est en dessous, et que g(x) tend vers -oo quand t tend vers 1, il est normal que g(x) ait un zéro : pour t=0.
Avant elle est positive, après elle est négative et on rejoint le 3e...
C'est bon ? c'est clair maintenant ?
Sinon, reviens (mais ne change pas de sujet, ou alors ouvre une autre discussion ;))...
@+
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#12 19-05-2011 18:30:07
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : b_convergence
Salut,
Variante :
[tex]f(x)=\ln(1-x)+x[/tex] pour [tex]x<1[/tex].
[tex]f'(x)=-\frac{1}{1-x} + 1 = \frac{-x}{1-x}[/tex] a le même signe que [tex]-x[/tex].
D'où le tableau de variations de [tex]f[/tex]
[tex]\begin{array}{c|ccccc||}x&-\infty&&0&&1\\ \hline f'(x)&&+&0&-& \\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&0&\searrow&-\infty\end{array}[/tex]
En particulier [tex]f(0)[/tex] est un maximum absolu de la fonction [tex]f[/tex] atteint uniquement une fois , donc [tex]\forall x \in ]- \infty,0[ \quad f(x) \leq 0[/tex] avec égalité uniquemnt si [tex]x=0[/tex]
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (19-05-2011 18:34:42)
#14 19-05-2011 19:05:54
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : b_convergence
Salut Mohamed,
Oui, c'est vrai, il n'était pas utile d'aller chercher la dérivée de la dérivée...
Mais ce n'était qu'un "plan B"..
Il faut toujours chercher à faire simple.
Tiens au passage, félicitations pour ton tableau de variations en LaTeX : je m'y suis mis aussi, mais là, j'avoue j'ai eu la flemme...
Je vois que tu codes LaTeX "à la main", alors il t'est arrivé ce qui nous est déjà arrivé à tous au moins une fois : oublier le bouton Prévisualisation et justement, c'est ce que je nomme "la loi de l'emmer...ment maximum", cette fois il y avait une balise tex oubliée ou mal fermée...
Résultats des courses : cette discussion http://www.bibmath.net/forums/viewforum.php?id=9 est inaccessible.
J'ai demandé à Fred de débloquer la situation... ;-)
@+
[EDIT]
C'est fait ! Merci Fred !!!
Dernière modification par yoshi (20-05-2011 13:19:03)
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#15 20-05-2011 18:46:26
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : b_convergence
Bonjour,
Bonjour yoshi!
Je me rappelle! oui!
Pour le TV tu peux la faire dans toute la tarnquilité si tu fais ce qui suit :
1) Trace ton tv sur une feuille de papier
2) Trace des lignes vérticles fictives qui spérent les diverses colonnes (lignes rouges)
3)Compte les colonnes (dans notre cas on en a 6)
4) Recopie en regardant le brouillon les trois lignes du tableau
ici la premiére est x&-\infty&&0&&+\infty
On remarque que chause ligne comprends 5 symboles & et si la cas est vide on a deux & consécutifs ...
5)Le code du tableau est \begin{array}{c|ccccc|} &&&&& \\ \hline &&&&& \\ \hline &&&&& \end{array}
Si tu veux une ligne horizontal au bord inférieur ajoute \hline à la fin .
#16 20-05-2011 19:38:42
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : b_convergence
Re,
Oui, oui, je sais : je t'ai dit que je m'y suis mis, je me suis fait même fait in pt'it memento...
Et c'est très gratifiant de réussir un beau tableau de variation avec des doubles barres et tout le toutim... ;-)
@+
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