Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Molotov

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[Résolu] Vecteur / Equation de droite

Bonjour,

j'ai un exercice à faire, et je suis coincée, pouvez vous m'aidez s'il vous plaît, voici l'énoncé :
Montrer que la droite de vecteur directeur  [tex]\overrightarrow{u}[/tex]  (  [tex]\frac{-4a}{1+4a²};\frac{1-4a²}{1+4a²}[/tex] ) et passant par A a pour équation
y =  [tex]\frac{4a²-1}{4a}x+\frac{1}{4}[/tex]  .

Dernière modification par Molotov (08-05-2011 17:35:35)

yoshi

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Bonjour,

Bienvenue sur BibM@th...

Bon, coordonnées de A ?
Peux-tu aussi modifier cette écriture s'il te plaît :
- 4a/ 1 + 4 a² : ça c'est [tex]\frac{-4a}{1}+4a^2[/tex]. Ne serait-ce pas plutôt [tex]\frac{-4a}{1+4a^2}[/tex]  ?
Même demande pour toutes tes écritures avec /.

Concernant ta question.
Hé, la miss, tu dois posséder deux choses importantes que tu dois doit ouvrir régulièrement :
1. Un cahier
2. Un manuel
;-)

Dans l'un et l'autre, il doit être écrit que :
si [tex]\vec u(m\;;\,n)[/tex] est un vecteur directeur d'une droite (D) passant par un point de coordonnées connues, alors on peut trouver p tel que [tex]nx-my+p=0[/tex]

Ou encore :
Si [tex]mx + ny + p = 0[/tex] est une équation cartésienne d'une droite (D), alors le vecteur de coordonnées [tex]\vec u(-n\;;\;m)[/tex] est un vecteur directeur de la droite (D).

@+

Molotov

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Re,

Merci pour votre accueil,
Suite à votre demande j'ai modifié ma question.
Justement, les coordonnées de A ne sont pas indiquées.

Et donc si j'ai bien compris, je dois partir de "  [tex]mx\,+\,ny\,+\,p\,=\,o\,[/tex]  " pour essayer de trouver l'équation cartésienne de droite :  [tex]y=\,\frac{4a²-1}{4a}x+\,\frac{1}{4}[/tex] ?

Merci d'avance.

thadrien

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Salut,

L'énoncé tel que tu le postes est incomplet. Sans les coordonnées de A, on ne peut rien faire !!!

yoshi

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Salut,

Bravo, tu joues avec LateX comme une pro...

Que les coordonnées de a ne soit pas données m'embête...
Ne serait-ce pas la suite de l'exercice soumis ici http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=4623 ?
Sinon, tu es coincée, il est impossible de finir.
Bon, non à ta question, c'est la première version du cours qu'il faut prendre :

si [tex]\vec u(m\;;\,n)[/tex] est un vecteur directeur d'une droite (D) passant par un point de coordonnées connues, alors on peut trouver p tel que [tex]nx-my+p=0[/tex]

Tu sais, toi, que :
[tex]\vec u\left(\frac{-4a}{1+4a^2}\;;\;\frac{1-4a^2}{1+4a^2}\right)[/tex]
donc tu sais déjà que :
[tex]\begin{cases}m&=\dfrac{-4a}{1+4a^2}\\ \\n&=\dfrac{1-4a^2}{1+4a^2}\end{cases}[/tex]

Donc ton équation est de la forme :
[tex]\frac{1-4a^2}{1+4a^2}x+\frac{4a}{1+4a^2}y+p=0[/tex]
Et comme, je sais beaucoup n'aiment pas les dénominateurs :
[tex](1-4a^2)x+4ay+p(1+4a^2)=0[/tex]
Soit encore :
[tex]4ay=-(1-4a^2)x-p(1+4a^2)[/tex]
Et enfin
[tex]y=\frac{4a^2-1}{4a}x-p\frac{1+4a^2}{4a}[/tex]
Et là pfuiitt... Terminus, sans les coordonnées de A tu ne peux continuer !!!
Tiens, donne-nous donc ce qui précède ta question...

@+

[EDIT]
S'il te fallait un avis supplémentaire, thadrien vient de t'en donner un...

Dernière modification par yoshi (08-05-2011 17:15:49)

Molotov

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Oui, l'énoncé entier est le suivant :

On veut prouver que les rayons parallèles à l'axe d'une parabole se réfléchissent en passant par un point fixe, le foyer de cette parabole. On se donne donc dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, i ,j). La parabole P d'équation y=x², et A le point de P d'abscisse a (a est un réel donné).

1) Montrer que la tangente T en A à P a pour équation y=2ax-a². En déduire que le vecteur n(-2a,1) est normale à T.
2) Un rayon parallèle à (Oy) se réfléchit en A sur P de façon que l'angle avec  [tex]\overrightarrow{n}[/tex]  du rayon incident soit égal à l'angle du vecteur réfléchi. On cherche donc un vecteur  [tex]\overrightarrow{u}[/tex]  de norme 1 tel que  [tex]\left(\overrightarrow{j},\overrightarrow{n}\right)=\left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{u}\right)[/tex]
Montrer que cette condition entraîne  [tex]\overrightarrow{j}.\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}[/tex]
3) On pose  [tex]\overrightarrow{u}[/tex] (x,y). Montrer que l'on a
x²+y²=1
-2ax+y =1 .
Résoudre ce système
4) Montrer que la droite de vecteur directeur  [tex]\overrightarrow{u}[/tex]  (  [tex]\frac{-4a}{1+4a²};\frac{1-4a²}{1+4a²}[/tex] ) et passant par A a pour équation
y =  [tex]\frac{4a²-1}{4a}x+\frac{1}{4}[/tex]  . Conclure

Mais ... je ne vois toujours pas, je bute complètement.

Dernière modification par Molotov (08-05-2011 17:30:41)

yoshi

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Re,

Alors, on raconte des "craques" ? Qu'est-ce que tu dirais d'un bon cocktail... Molotov ? :-))
Bon soyons sérieux.
Tu vois que tu connais les coordonnées de A : c'est le même exercice que celui de setsuko...
Donc A est sur la parabole d'équation y = x² et d'abscisse a.
1. Tu as donc A(a ; ...)  : à compléter !
2. Tu vas partir de l'équation obtenue en appliquant le théorème donné : [tex]\frac{1-4a^2}{1+4a^2}x+\frac{4a}{1+4a^2}y+p=0[/tex]
3. Tu vas écrire que ce point A est sur la droite, donc que ses coordonnées vérifient l'équation de la droite ci-dessus.
4. Tu va en extraire p : tu dois trouver [tex]p=\frac{-a}{1+4a^2}[/tex]
5.  1+4a² n'étant jamais nul, tu écris que tu multiplies les 2 membres de l'équation par 1+4a², ce qui a pour effet de virer tous les dénominateurs.
6. De là tu passes à l'écriture sous la forme y = ...

Fin de ta 4e question : Conclure.
Et là tu te dis : conclure quoi ?
Et en relisant l'énoncé tu tombes sur

On veut prouver que les rayons parallèles à l'axe d'une parabole se réfléchissent en passant par un point fixe

En fait l'équation de droite obtenue est plus exactement, l'équation dépendant du paramètre a, l'équation générique d'une famille de droites : les fameux rayons réfléchis.
Un point fixe = de coordonnées indépendantes de a et commun à toutes les droites.
A toi de dire lequel (coordonnées ?) et pourquoi.

Reviens si nécessaire et autant de fois que nécessaire en disant à quelle étape tu coinces et ce que tu as fait.

@+

Molotov

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Re,

C'est quand même un "exercice Férox" =P

Revenons à l'exercice :
Merci beaucoup, je n'aurais pas pensé à cela seule.
Mais je n'arrive pas à extraire  [tex]p[/tex] en partant du théorème. Pouvez vous me donner un petit coup de pouce supplémentaire s'il vous plaît ?

yoshi

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Salut,

Bon, j'enfourche mon magnifique destrier blanc, dégaine mon katana et cataclop, cataclop, cataclop... je vole au secours d'une pov' jeune-fille en détresse... ;-)

Je t'avais écrit :
[tex]\frac{1-4a^2}{1+4a^2}x+\frac{4a}{1+4a^2}y+p=0[/tex]
Sachant que A(a ; a²) (t'avais trouvé j'espère, sinon direct rétrogradation en 3e) est sur cette droite, classiquement on écrit la phrase consacrée :
"Ecrivons que les coordonnées de A vérifient l'équation de la droite."
Qu'est-ce à dire ? vas-tu t'exclamer (j'ose espérer que non)...
Et bien si je remplace x par a, et y par a², on a encore :
[tex]\frac{1-4a^2}{1+4a^2}\times a+\frac{4a}{1+4a^2}\times a^2+p=0[/tex]
ou si tu préfères :
[tex]\frac{a(1-4a^2)}{1+4a^2}+\frac{4a^3}{1+4a^2}+p=0[/tex]
Tu mets tout, sauf p, sur le même dénominateur 1+4a², tu développes le a(1-4a²) et tu réduis le numérateur, et enfin tu passes ta fraction dans le 2e membre et là sous tes yeux baignés de larmes de satisfaction, que vois-tu :
[tex]p=\frac{-a}{1+4a^2}[/tex]

Ah... C'est quand même beau les Maths !!! :-)
Exo intéressant, bien conçu, ferox oui au niveau de la maîtrise du calcul littéral, laquelle maîtrise est indispensable en S (ou ES, t'façons les ES en Maths, sont presque au niveau des S, les exercices théoriques sont moins nombreux et un peu moins fouillés, c'est tout)

Allez, reviens si nécessaire...

@+

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Bonsoir,
(Je me permet de remplacer yoshi dans sa mission :)   )
Tu l'extrait en remplaçant  x  par   a  et  y  par  [tex]a^2[/tex] puis   un  calcul  direct
(x=a  et  y= a^2  pour  exprimer  que  la  droite  passe  par  A(a,a^2)  )

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (08-05-2011 19:58:36)

yoshi

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Salut Mohamed,

(Je me permet de remplacer yoshi dans sa mission :)   )

Que nenni, j'avais déjà répondu depuis 3 min quand tu as posté ! :-)

Mais je suis très lent à écrire, et je m'autocorrige très souvent, quelquefois sur un seul mot, un verbe, un adjectif...
J'avais remarqué, quand j'étais en service, que bien souvent mes élèves étaient piégés par le sens des mots...

@+

Molotov

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Bonsoir,
merci beaucoup à vous deux, je regarderais ça demain à tête reposé.
A+

[Edit] Ps :

Ah... C'est quand même beau les Maths !!! :-)

On dirait entendre mon prof de math ... Beau, oui, peut être, quant on est content d'y arriver. ^^

Dernière modification par Molotov (08-05-2011 21:45:27)

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Vecteur / Equation de droite

Re,

Fais attention, Louis XVI, ça ne lui pas très bien réussi ! ;-)

@+