Le tandem

yoshi · 09-01-2011 13:51:20

Salut à tous,

Le problème de la mine en feu de JPP m'en a rappelé un sur lequel je viens de remettre la main...

Toujours d'après les casse-têtes mathématiques de Sam Lloyd.
Trois hommes MM. A., B. et C. veulent parcourir 40 kilomètres avec un tandem à 2 places...
Il faudra donc que le 3e aille à pied.
Un des hommes, disons M. A. parcourt un kilomètre en dix minutes, B. un kilomètre en 15 minutes et C lui, un kilomètre en vingt minutes.
Le tandem se déplacera toujours à une vitesse de 40 km/h, quels que soient les personnes qui pédalent.

Quel sera le temps mis pour que les trois hommes effectuent leur voyage, en supposant bien sûr, qu'ils utilisent la méthode la plus rapide en alternant la marche et le tandem ?

@+

nerosson · 12-01-2011 15:14:11

Salut, Yoshi,

Il me semble que ton énoncé du problème est un peu brumeux, et c'est peut être pour ça que ça ne se bouscule pas au portillon pour te répondre. Il doit manquer des conditions.

En effet, si je m'en tiens strictement aux conditions que tu formules, je te propose une solution dont je suis le premier à reconnaître qu'elle est idiote et que ce n'est pas ce que tu attends :

B et C prennent le tandem et ils font "39,999 km. Après quoi, ils attendent A qui, à pied, est le plus rapide. Quand il les a rejoint, le dernier mètre est fait à pied par B et en tandem par A et C. Il y a bien alternance !

Je ne te fais même pas les calculs pour un truc aussi biscornu.

Alors, si tu veux bien revoir ta copie, j' ESSAYERAI de revoir la mienne.

yoshi · 12-01-2011 15:21:23

Re,

Je n'ai rien à revoir...
J'ai fait une copie conforme de l'énigme de Sam Lloyd...

Quel sera le temps mis pour que les trois hommes effectuent leur voyage, en supposant bien sûr, qu'ils utilisent la méthode la plus rapide en alternant la marche et le tandem ?

Je comprends moi, au vu de la mention "méthode la méthode la plus rapide" que tu dois jouer avec les alternances pour que le temps mis pour faire les 40 km soit le plus petit possible...
Ta performance : 6 h 40 min 0 s 3/10e...
Performance optimum : inférieure à 2 h 20 min (j'ai pris une borne plus ronde que celle donnée par Lloyd et qui lui est supérieure)...

Sinon, pour toute réclamation tu peux toujours écrire à :
Sam Lloyd
"L'autre monde"
aux bons soins de Martin Gardner
"Scientific American"
USA

@+

freddy · 12-01-2011 15:58:22

Salut,

le sujet est limpide sauf que l'énoncé vient de changer : on est passé de 41 hm/h à 40 hm/h soit 4 KM/H = 1 KM toutes les 15 min.

Donc B+C sur le tandem et la durée de transport = 10 heures (c'est long non ?)

Sur mon fier coursier équipé tout Campagnolo, je filais bien entre 32/35 KM/H durant plusieurs heures !!! Donc je faisais la distance en à peine plus d'une heure (par bon vent arrière, bien sûr !) :-)

Bb

Dernière modification par freddy (12-01-2011 15:58:45)

yoshi · 12-01-2011 16:07:21

Ave,

Double dérapage mal contrôlé de l'Index : j'avais écrit 410 hm/h pour la vitesse du tandem: il s'agit bien de 40 km/h, sinon, oui, les explications ne sont pas brumeuses et conformes à celles données par Lloyd : je viens de vérifier...
Vous remarquerez sur la pavé numérique que 4, 1 et 0 sont l'un au dessus de l'autre, h et k voisins... Je vous dois un aveu : je tape avec un seul doigt ce qui cause de nombreux dérapages et pertes de temps pour les corriger.
Mes plus humbles excuses, mais je le répète pour nerosson : explications conformes...

Performance optimum : inférieure à 2 h 20 min (j'ai pris une borne plus ronde que celle donnée par Lloyd et qui lui est supérieure)...

@+

nerosson · 12-01-2011 16:24:23

Salut, Yoshi,

Garde ton calme :-)

Est-ce que le tandem a le droit de rouler dans les deux sens du parcours ?

freddy · 12-01-2011 16:31:18

Re,

ouaip, 40 km/h, c'est mieux.

Donc B+C mettent 1 heure et A parcourt 6 km.

Puis B rejoint A : il file à 40+6 km/h et met 34/46 heure pour rattraper A. Puis ils repartent ensemble rejoindre C à la vitesse de 40 km/h pour parcourir une distance égale à 34/46*40 = 29,565 KM.

Donc temps total : 1 heure + 2*34/46 = 2 heures 28 minutes et 41,7 secondes.

Comment fais tu 2 h 20 mn ?

yoshi · 12-01-2011 16:55:45

Re,

Ah bin, 2 h 20 est une borne haute et "ronde", Sam Lloyd, lui dit : un peu moins de 2 h 18 min...
D'autres pourraient encore s'atteler à la tâche et faire mieux que 2 h 28 min...
As-tu envisagé une possibilité à un moment quelconque de faire autrement que d'aller tout droit et toujours dans le même sens ?

@+

mulc · 12-01-2011 16:56:37

pour ameliore la perf de freddy il suffit de laisser B à 3 ou 4 km de l'arrivée: l'idéal etant qu'il arrive en même temps que a et c au but.

yoshi · 12-01-2011 17:28:25

Re,

il suffit de laisser B à 3 ou 4 km de l'arrivée...

En tandem, ils sont plus rapides qu'à pied !
Mais la clé est bien le marcheur B...

Hey freddy, gprbx and co... je vous le dis maintenant : Sam Lloyd dans sa réponse dit

Le problème est résolu algébriquement en prenant pour x (...) et pour y (...)

De plus, j'ai dit (post précédent) :

As-tu envisagé une possibilité à un moment quelconque de faire autrement que d'aller tout droit et toujours dans le même sens ?

@+

gprbx · 12-01-2011 17:37:14

Bonjour,

je trouve 2 heures 15 minutes 33,3 secondes

A+ cordialement : gprbx

gprbx · 12-01-2011 18:07:56

re,
j'ai une petite erreur dans le résolution de mon système d'équations linéaires, mais je reviens bientôt A+

freddy · 12-01-2011 18:15:23

Re,

ok, j'ai un peu moins de 2 h 20 min, mais pas encore 2h 18 !

J'ai demandé à C de laisser B à une heure de marche !

Mouais, trop bourrin ce soir !

Dernière modification par freddy (12-01-2011 18:16:24)

gprbx · 12-01-2011 18:46:11

Bonsoir,

j'avais une légère erreur dans le calcul de T. Je trouve 2 heures 16 minutes 11 secondes
(T=2.269709544... avec le tandem à 40 km/h)
Je voulais donner le détail en masqué, mais je n'ai pas le code couleur ad hoc (yoshi l'a pourtant publié !)

A+

yoshi · 12-01-2011 18:53:35

Re,

Code : E1E1E1

@+

gprbx · 12-01-2011 19:06:29

Bonsoir,
masqué ci-dessous une solution complète (je sis allé rechercher la couleur avec une pipette)

Le mieux est de laisser A à 6 km/h finir à une distance z de l'arrivée. Donc A et C partent avec le tandem et C revient seul sur le tandem. Pendant ce temps, B part à 4km/h et le tandem qui est revenu sur une distance y le prend après qu'il ait parcouru la distance x et rout le monde arrive en même temps au bout du temps T.
X + y + z = 40
Pour A, B et C dans cet ordre on a :
(x+y)/40 + (z/6) = (x+y)/40 + (y/40) + ((y+z)/40) = x/4 + ((y+z)/40) = T
4 inconnues, 4 équations, d'où :
x = 1360/241 ; y = 6120/241 ; z = 2160/241 ; T = 2.26970954 ….
T = 2 heures 16 minutes 11 secondes

A+ cordialement : gprbx

freddy · 12-01-2011 19:25:16

Re,

un lien pour trouver le code couleur : http://www.code-couleur.com/index.html

yoshi · 12-01-2011 19:29:41

Re,

Avec balises quote F1F1F1 :

[color=F1F1F1]Code couleur utilisé F1F1F1 ![/color]

L'emploi de la pipette chez moi :
* Copie d'écran via la touche Imp. écran
* J'ouvre Photofiltre (gratuit)
* J'y colle l'image depuis le presse-papiers
* Avec la pipette dispo je prélève la couleur et son code s'affiche.

@+

gprbx · 12-01-2011 19:56:33

Re,
Pour le code couleur, merci à freddy et à yoshi
Je pense que F1F1F1, très près du blanc, marche pour les citations ou le code,
J'ai utilisé DFDFDF pour le gris des post ordinaires.
A+ cordialement : gprbx

yoshi · 12-01-2011 20:09:00

Re,

Je n'avais relevé que ce n'était pas caché dans un bloc citation...
En ce cas, ok : ma méthode donne quelque chose d'extrêmement proche : DEDFDF

@+

freddy · 12-01-2011 20:15:00

Re,

perso, je laisse B finir la course. C le dépose à une certaine distance de l'arrivée (de l'ordre de 5,643km) et le temps total = 2 h 16 min 10 sec et 95/100

Bb

yoshi · 13-01-2011 11:24:04

Bonjour,

Après une lecture attentive de la solution donnée par le bouquin, j'ai pris les valeurs données et j'ai réalisé la simulation avec le processus décrit...
Ça ne collait pas...
Donc, je me suis dit que j'allais devoir réfléchir un peu !
Gprbx résout le problème avec un système à 3 inconnues, Sam Lloyd lui, propose de le faire via un système à 2 inconnues et donc moi, je me suis fixé comme objectif de le faire avec une seule inconnue (c'est un peu plus long, quand même)...
Et j'ai repris le problème en faisant abstraction des valeurs intermédiaires données dans la solution...
Résultat des courses : 2,38 h alors que S.L annonce "un peu moins de 2,3 h"... ????
J'ai refait 3 fois mes calculs sans succès.
J'en suis arrivé à la conclusion que la phrase "C retourne chercher B et A continue à pied" était fausse : il valait mieux effectivement que ce soit B qui termine à pied...
J'ai donc repris ce matin et c'était bien exact.

Voilà ma solution en partant de l'idée de S.L et non de la traduction du bouquin :
B et C enfourchent le tandem et commencent le parcours, tandis que A commence à pied.
Arrivés à une certaine distance x parcourue, B descend du tandem, termine à pied, tandis que C s'en retourne chercher A...

Puisque ma solution est accessible (techniquement) dès la classe de 4e, alors autant tout détailler...
(je n'arrive pas à cacher LaTex)
Lorsque B et C se séparent, il s'est écoulé : [tex]\frac{x}{40}[/tex] durée exprimée en heures décimales.
A a donc déjà parcouru : [tex]6\times \frac{x}{40}=\frac{3x}{20}[/tex] distance en km parcourue à 6 km/h...

A ce moment A et C sont séparés par [tex]x-\frac{3x}{20}=\frac{17x}{20}[/tex]
La distance séparant A et C va donc diminuer à raison de 46 km/h.
Le temps nécessaire à C pour rejoindre A est donc :
[tex]\frac{17x}{20\times 46}=\frac{17x}{920}[/tex]
A cet instant, depuis que C a rebroussé chemin, A aura parcouru parcouru en plus :
[tex]6\times\frac{17x}{920}=\frac{51x}{460}[/tex]
Il rejoint C sur le tandem avec C et doit encore parcourir, à 40 km/h :
[tex]x-\frac{3x}{20}-\frac{51x}{460}=\frac{18400-69x-34x}{460}=\frac{18400-103x}{460}[/tex]
Soit une durée nécessaire de :
[tex]t_{AC}=\frac{18400-103x}{460\times 40}[/tex]

Au moment de la rencontre A + C, B, lui, aura encore parcouru :
[tex]4\times \frac{17x}{920}=\frac{17x}{230}[/tex]
Il lui reste à parcourir à cet instant :
[tex]40-x-\frac{17x}{230}=\frac{9200-230x-17x}{230}=\frac{9200-247x}{230}[/tex]
Soit un temps nécessaire, à 4 km/h, de :
[tex]t_B=\frac{9200-247x}{230\times 4}[/tex]

Et maintenant pour qu'il n'y ait pas de pertes de temps, je vais écrire que A et C sur le tandem d'une part et B d'autre part arrivent en même à destination.
[tex]t_{AC}=t_B\;\Leftrightarrow\;\frac{18400-103x}{460\times 40}=\frac{9200-247x}{230\times 4}[/tex]
Soit après multiplication des deux membres par 460 * 40 :
[tex]18400-103x = 20(9200-247x)\;\Leftrightarrow\;18400-103x=184000-4940x[/tex]
Soit :
[tex]4940x-103x = 184000-18400[/tex]
et
[tex]x=\frac{165600}{4837}\approx 34,236\;km[/tex] à 1 m près
B et C doivent donc se séparer après 34,236 km

Le temps total est donc de :
[tex]\frac{x}{40}+\frac{40-x}{4}=\frac{400-9x}{40}[/tex]

Soit 2,29687823... h ou encore 2 h 17 min 48 s 76/100e à 1/100e près par défaut.
Donc gprbx fait mieux encore...

Je teste le temps de A:
[tex]\frac{x}{40}+\frac{17x}{920}+\frac{18400-103x}{460\times 40}[/tex]
Ce qui me donne environ 2.29687823... h
Le même temps.
Mes calculs sont bien justes : un peu moins de 2,3 h dit Sam Lloyd...
Mais freddy n'a pas non plus cette valeur...

Alors gprbx et freddy ont-ils trouvé une autre méthode que celle décrite par Sam Lloyd ?

@+

freddy · 13-01-2011 14:16:07

Salut yoshi,

j'ai bien suivi ton analyse jusqu'au moment où C, qui a déposé B en X, rejoint A.

Ensuite, je cherche la valeur de X telle que le temps mis par le tandem pour aller chercher A puis retourner jusqu'à l'arrivée est égal au temps nécessaire à B pour parcourir la distance 40 -X (sur une idée de mulc !).

C'est comme cela que je retrouve exactement le temps de gprbx !

Pour savoir si c'est le plus petit, on échange les rôles entre A et B, et on voit qu'ils sont symétriques (puisque gprbx fait finir A à pied et moi, je fais terminer B). il est clair aussi que faire marcher C est sous optimal.

Dernière modification par freddy (13-01-2011 14:33:52)

yoshi · 13-01-2011 15:17:25

Re,

Ensuite, je cherche la distance X telle que le temps mis par le tandem pour aller jus'qu'à l'arrivée est égal au temps nécessaire à B pour parcourir la distance 40 -X (sur une idée de mulc !).

mulc ??? Kézako ?
C'est bien ce que j'ai fait, sauf, que j'ai appelé x la distance où B se sépare de C et que je cherche, en fonction de cet x, la position de B et de A en fonction de x au moment où C rejoint B.
Et là, j'écris qu'ils arrivent ensemble à destination soit que le temps (fonction de x) mis par le tandem est égal au temps (fonction de x) mis par B pour rallier l'arrivée à pied.

Si A finit à pied, c'est que A et C sont partis ensemble sur le tandem, puis que C est reparti chercher B.
Et là je ne vois pas comment ces deux méthodes peuvent donner le même résultat : dans ce cas j'obtiens moi, 2,38 h.
Je calcule alors le temps uns et des autres et je constate qu'ils sont égaux (à la calculette avec précision 10^-9 près...) et dans les deux cas !

Là, je suis un perturbé ! Situation anormale !

S'il y a une faute de calcul théorique chez moi, pourquoi le temps total mis par A = le temps total mis par B ?

@+

freddy · 13-01-2011 16:23:26

Re,

dans l'ordre chronoologique, on a :

X : distance parcourue par le tandem avec B+C à la vitesse de 40 km/h, soit [tex]t_1=\frac{X}{40}[/tex]

d2 distance parcourue par A pendant que B+C vont à X, soit [tex]d_2 = 6\times t_1[/tex] ;

d4 distance parcourue par A quand B revient le chercher à la vitesse de 46 km/h, soit :

[tex]\frac{d_4-d_2}{6}=\frac{X-d_2}{46}[/tex]

On voit que les distance d2 et d4 sont fonction de X qui doit vérifier l'équation suivante :

[tex]\frac{40-X}{4}=\frac{X-d_2}{46}+\frac{40-d_4}{40}[/tex];

Sauf erreur, je trouve [tex]X = 34,35684647[/tex] KM et [tex]t = 2,269709544[/tex] heures avec petitmou.

Le temps du premier voyage est égal à 0,858921162 et celui du second à 1,410788382 (le temps que met B pour arriver à l'arivée !)

PS : mulc est un invité qui a laissé une trace intelligente #9

Dernière modification par freddy (13-01-2011 16:24:50)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 09-01-2011 13:51:20

Le tandem

#2 12-01-2011 15:14:11

Re : Le tandem

#3 12-01-2011 15:21:23

Re : Le tandem

#4 12-01-2011 15:58:22

Re : Le tandem

#5 12-01-2011 16:07:21

Re : Le tandem

#6 12-01-2011 16:24:23

Re : Le tandem

#7 12-01-2011 16:31:18

Re : Le tandem

#8 12-01-2011 16:55:45

Re : Le tandem

#9 12-01-2011 16:56:37

Re : Le tandem

#10 12-01-2011 17:28:25

Re : Le tandem

#11 12-01-2011 17:37:14

Re : Le tandem

#12 12-01-2011 18:07:56

Re : Le tandem

#13 12-01-2011 18:15:23

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#14 12-01-2011 18:46:11

Re : Le tandem

#15 12-01-2011 18:53:35

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#16 12-01-2011 19:06:29

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#17 12-01-2011 19:25:16

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#18 12-01-2011 19:29:41

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#25 13-01-2011 16:23:26

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