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MIAS2

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Commutateur et Groupe quotient

Bonjour, soit G un groupe, et commutateur de G tout élément de la forme [tex]\ xyx^{-1}y^{-1}[/tex]. D le sous-groupe de G engendré par l'ensemble des commutateurs de G .
On me demande de deteminer D lorsque G commutatif (fait), de montrer que D est un sous-groupe normal (fait) .
Je n'arrive pas
1)à montrer que G/D est commutatif.
2) Soit H un sous groupe normal de G , en supposant que G/H est commutatif montrer que D est inclu dans H.

Comment je dois faire pour résoudre 1) et 2). Merci

Fred

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Re : Commutateur et Groupe quotient

Bonsoir,

Voici comment faire :

On va prouver le résultat général suivant : soit H un sous-groupe normal de G,
alors [tex]\bar x\cdot \bar y=\bar y\cdot \bar x\iff xyx^{-1}y^{-1}\in H[/tex]
(les classes d'équivalence sont prises ici dans G/H).

Soient donc [tex]\bar x[/tex] et [tex]\bar y[/tex] deux éléments de G/H.
On a [tex]\bar x\cdot\bar y=\bar y\cdot\bar x[/tex],
si et seulement si [tex]\overline{xy}=\overline{yx}[/tex]
si et seulement si [tex]xy(yx)^{-1}\in H\iff xyx^{-1}y^{-1}\in H[/tex]

Avec ce résultat, tu dois pouvoir prouver facilement tes deux résultats...

Fred.

MIAS2

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Re : Commutateur et Groupe quotient

Pour la 2) j'ai utilisé la surjection canonique qui va [tex]\pi:G \longmapsto G/H[/tex] en sachant que [tex]\ H=Ker(\pi)[/tex] car [tex]H[/tex] est un sous-groupe normal de G et je montre que [tex]x\in D \Rightarrow[/tex][tex]x\in H[/tex] et donc [tex]D\subset H[/tex]. Est ce que ce raisonnement marche ??

Pour la 1) je n'ai pas compris ton indication parce que je ne peux pas utiliser la commutativité.

Dernière modification par MIAS2 (05-01-2011 09:09:10)

Fred

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Re : Commutateur et Groupe quotient

Pour la 1), c'est clair, car on a toujours
[tex]\bar x\cdot\bar y=\bar y\cdot \bar x[/tex] (les classes sont dans G/D)
puisque D contient [tex]xyx^{-1}y^{-1}[/tex] (D est le groupe engendré par les commutateurs).

Pour la 2), c'est la même chose. Si G/H est commutatif, l'indication que je donne montre
qu'il contient tous les commutateurs, et donc que D est inclus dans H.

Fred.

MIAS2

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Re : Commutateur et Groupe quotient

Merci  , j'ai compris !!!!!!!!!