Suites TS [Résolu]

legend · 02-01-2011 14:27:15

Bonjour, j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour cet exercice.En faite je ne sais même pas par quoi commencer.

Ex:
Démontrer que, pour tout entier naturel n, l'entier [tex]{3}^{2n}-{2}^{n}[/tex] est un multiple de 7.

Merci d'avance pour votre aide.

Golgup · 02-01-2011 14:33:17

Hello

Voila par ou commencer: 3²=2(7)

++

legend · 02-01-2011 15:55:33

Merci mais je ne vois pas trop comment vous êtes passé de la première étape à la deuxième.

Golgup · 02-01-2011 16:17:51

Re,

En spé tu as vu que [tex]a\equiv b\,\left(mod\,n\right)\,\Longleftrightarrow {a}^{k}\equiv {b}^{k}\left(mod\,n\right)[/tex] et ça [tex]\forall k\in \mathbb{N}[/tex] (ça se prouve par récurrence..)

Aussi, tu verifie facilement que 3² [tex]\equiv \,2\,\left(mod7\right)[/tex]

A toi d'finir..

legend · 02-01-2011 16:20:23

Non, désolé car je ne suis pas en spé math.

Golgup · 02-01-2011 16:22:03

Tu as pas vu le congruences?

legend · 02-01-2011 16:31:47

non

Golgup · 02-01-2011 16:44:27

C'est dans le cadre des suites?

Sans les congruences c'est beaucoup plus dur.. je vais chercher

thadrien · 02-01-2011 16:54:03

Salut,

@Golgup : attention, il n'y a pas équivalence mais seulement implication de gauche à droite, sauf dans le cas où n est premier.

@legend : sans récurrence, il faut travailler à la main :

[tex]3^{2n} = {(3^2)}^n = 9^n = (7 + 2)^n[/tex]

On développe ensuite à l'aide du binôme de Newton :

[tex](7 + 2)^n = \sum_{i = 0}^{n}{7^i \cdot 2^{n-i}} = \sum_{i = 1}^{n}{7^i \cdot 2^{n-i}} + 2^n = \left[ \sum_{i = 1}^{n}{7^{i-1} \cdot 2^{n-i}} \right] \cdot 7 + 2^n[/tex]

Donc [tex]3^{2n} - 2^n = (7 + 2)^n - 2^n = \left[ \sum_{i = 1}^{n}{7^{i-1} \cdot 2^{n-i}} \right] \cdot 7[/tex].

Or, [tex]\left[ \sum_{i = 1}^{n}{7^{i-1} \cdot 2^{n-i}} \right][/tex] est entier.

Donc [tex]3^{2n} - 2^n[/tex] est divisible par 7.

tibo · 02-01-2011 16:59:20

Yop,

les congruence ne sont que des notations qui permettent de simplifier l'écriture, mais l'idée est la meme:

il faut montrer que [tex]3^{2n}\ -\ 2^n\ =\ k*7[/tex]

[tex]3^{2n}[/tex] s'écrit aussi [tex](3^2)^n[/tex]
et l'indication de Golgup s'écrit 3² = 9 = 7+2

et avec le binome de Newton, on s'en sort

[edit]
ops, devancé par Thadrien

Dernière modification par tibo (02-01-2011 17:01:59)

Golgup · 02-01-2011 17:01:18

Merci thadrien mais je ne suis pas sur que legend ait vu le binôme de newton!

++

tibo · 02-01-2011 17:03:58

heu... Terminale S, j'ose espèrer que le binome de Newton soit connu et maitrisé (enfin au moins connu)

Dernière modification par tibo (02-01-2011 17:04:34)

legend · 02-01-2011 17:07:33

Non désolé je ne l'ai pas vu non plus.

Golgup · 02-01-2011 17:13:43

Tibo tu rigoles??!!

Dernière modification par Golgup (02-01-2011 17:14:10)

tibo · 02-01-2011 17:24:19

Bon d'accord pas maitrisé, mais on le vois bien en Terminale non?

Golgup · 02-01-2011 17:30:11

Pas pour ma part, mais tu le sait mieux que moi, étant dans les études supérieures?!

tibo · 02-01-2011 17:46:42

Apres verification, c'est au programme de terminale, mais au chapitre dénombrement.

Donc sans le binome, je ne vois que la récurence, et encore c'est pas facile

Golgup · 02-01-2011 17:57:39

Je peux voire comment tu fais par récurrence STP?

merci

freddy · 02-01-2011 18:04:36

Bonsoir,

oui tibo, c'est mon intuition à l'instant, et en fait c'est assez facile à faire par récurrence.

On voit pour n= 0 ou 1 que c'est OK puisque, pour n=1 on a bien 7 = 0 (7).

Ensuite, on pose : [tex]{3}^{2n}-{2}^{n}=7k[/tex] pour n > 1 et k > 0.

Donc [tex]{3}^{2\left(n+1\right)}-{2}^{n+1}={3}^{2}\times {3}^{2n}-{2}^{n+1}=9\times \left({2}^{n}+7k\right)-2\times {2}^{n}={2}^{n}\times \left(9-2\right)+9\times 7\times k[/tex]

qui est bien égal à 0 modulo 7.

Donc on l'a facilement par récurrence.

Bb

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